Cho một tứ giác ABCD và I là giao điểm của các đường chéo. Chứng minh rằng nếu bán kính các đường tròn nội tiếp các tam giác IAB, IBC, ICD, IDA mà bằng nhau thì ABCD là hình thoi.

Câu hỏi số 53929:

A. Click để xem lời giải.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:53929

Giải chi tiết

Trước hết, ta chứng minh bài toán sau đây:

"Cho hai tam giác ABC và AMN với $\widehat{BAC}=\widehat{MAN}$ , các bán kính đường tròn nội tiếp bằng nhau. Chứng minh rằng nếu AB < AM thì AC > AN"

Dựng các tam giác đó như trong hình vẽ sau, trong đó giả sử AC < AN tiếp điểm của BC với đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I.

Ta thấy ngay mọi điểm của (O) đều nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A. Trong đó M, N lần lượt nằm trên các tia đối của tia BA, CA. Suy ra đoạn thẳng MN nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A, và do đó không có điểm chung với (O) trái với giả thiết và bài toán đã được chứng minh.

Giả sử IA < IC (1), áp dựng bài toán vừa nêu cho ∆ AIB và ∆ CID, ta có: IB > ID hay ID < IB. Lại áp dụng cho tam giác ∆ IAD và ∆ ICB, ta có IA > IC, mâu thuẫn với (1). Vậy IA > IC.

Chứng minh tương tự, ta cũng có IC > IA. Suy ra IA = IC. Một cách tương tự, ta cũng có IB = ID. Vì có cạnh IB chung và IA = IC nên hai tam giác IAB, ICB có diện tích bằng nhau, lại có bán kính đường tròn nội tiếp bằng nhau nên chu vi bằng nhau

(vì p = $\frac{S}{r}$ = p').

Suy ra các cạnh còn lại bằng nhau: AB = BC. Vì hai tam giác đó được chọn bất kì nên AB = BC = CD = DA và ABCD là hình thoi.

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link