Cho nửa (O;R) đường kính AB. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn (Ax, By thuộc cùng
Cho nửa (O;R) đường kính AB. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn (Ax, By thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn). M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Nối MA cắt OC tại E. Nối MB cắt OD tại F.
a) Chứng minh bốn điểm O, A, C, M cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh tứ giác OEMF là hình chữ nhật.
c) Giả sử \(AC = R\sqrt 3 \). Tính độ dài cung MB.
d) Kẻ \(MH \bot AB\); BC cắt MH tại điểm I. Chứng minh I là trung điểm của MH.
Quảng cáo
a) Chứng minh bốn điểm O, A, C, M cùng thuộc một đường tròn.
Ta có \(OA \bot AC\) (Ax là tiếp tuyến \(\left( O \right),\,\,\,C \in Ax\)).
\( \Rightarrow \angle OAC = {90^0}\).
\(OM \bot MC\) (CD là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)).
\( \Rightarrow \angle OMC = {90^0}\)
\( \Rightarrow \angle OAC + \angle OMC = {180^0}\)
Xét tứ giác \(OACM\): \(\angle OAC + \angle OMC = {180^0}\,\,\left( {cmt} \right)\).
Mà \(\angle OAC,\,\,\angle OMC\) là hai góc đối nhau.
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(OACM\) là tứ giác nội tiếp (dhnb tgnt).
\( \Rightarrow O,A,C,M\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh tứ giác OEMF là hình chữ nhật.
\(CA,\,CM\) là 2 tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)
\( \Rightarrow CA = CM\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
Mà \(OA = OM\,\,\left( { = R} \right)\)
\( \Rightarrow OC\) là trung trực của \(AM\) (dhnb trung trực của đoạn thẳng).
\( \Rightarrow \angle OEM = {90^0}\). Chứng minh tương tự \(\angle OFM = {90^0}\)
Xét \(\left( O \right)\): \(\angle AMB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét tứ giác \(OEMF\):
\(\begin{array}{l}\angle EMF = {90^0}\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle OEM = {90^0}\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle OFM = {90^0}\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(OEMF\) là hình chữ nhật (dhnb HCN).
c) Giả sử \(AC = R\sqrt 3 \). Tính độ dài cung MB.
\(\Delta AOC\) vuông cân tại \(A\) \( \Rightarrow \tan \angle AOC = \dfrac{{AC}}{{AO}} = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{R} = \sqrt 3 \).
\( \Rightarrow \angle AOC = {60^0}\)
\(CA,\,\,CM\) là 2 tiếp tuyến của \(\left( O \right) \Rightarrow OC\) là phân giác của \(\angle AOM\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow \angle AOM = 2\angle AOC = {120^0}\).
Mà \(\angle AOM + \angle MOB = {180^0}\) (2 góc kề bù).
\( \Rightarrow \angle MOB = {180^0} - {120^0} = {60^0}\).
Độ dài cung MB: \({l_{MB}} = \dfrac{{2\pi R}}{{360}}.60 = \dfrac{{\pi R}}{3}\).
d) Kẻ \(MH \bot AB\); BC cắt MH tại điểm I. Chứng minh I là trung điểm của MH.
\(BM \cap Ax = \left\{ K \right\}\).
Xét \(\Delta ABK\):
\(O\) là trung điểm \(AB\)
\(OC//BK\) (\(OE//FM\), tứ giác \(OEMF\) là hình chữ nhật)
\( \Rightarrow C\) là trung điểm \(AK\).
\(IH//AC \Rightarrow \dfrac{{IH}}{{CA}} = \dfrac{{BI}}{{BC}}\) (hệ quả định lí Ta-lét).
\(MI//KC \Rightarrow \dfrac{{IM}}{{CK}} = \dfrac{{BI}}{{BC}}\) (hệ quả định lí Ta-lét).
\( \Rightarrow \dfrac{{IH}}{{CA}} = \dfrac{{IM}}{{CK}}\) \(\left( { = \dfrac{{BI}}{{BC}}} \right)\).
Mà \(CA = CK\) (C là trung điểm của AK cmt)
\( \Rightarrow IH = IM\) \( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(MH\) (đpcm).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
