Cho (O) đường kính AB; trên tia đối của tia AB lấy điểm C, vẽ đường thẳng d vuông góc với

Câu hỏi số 539534:

Vận dụng

Cho (O) đường kính AB; trên tia đối của tia AB lấy điểm C, vẽ đường thẳng d vuông góc với AB tại C; lấy điểm M bất kỳ trên đường tròn, tia BM cắt d tại D, tia DA cắt (O) tại điểm thứ hai E.

a) Chứng minh tứ giác ACDM là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh: BM.BD = BA.BC

c) Chứng minh MA là phân giác \(\angle CME\)

d) Giả sử CA = 4 cm; AB = 9 cm. Tìm vị trí của điểm M trên (O) để khoảng cách giữa hai điểm D và E nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:539534

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác ACDM là tứ giác nội tiếp. (1 điểm)

Xét \(\left( O \right)\): \(\angle AMB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

\( \Rightarrow \angle AMD = {90^0}\) (kề bù \(\angle AMB = {90^0}\))

Mà \(\angle ACD = {90^0}\,\,\left( {d \bot CB} \right)\)

\( \Rightarrow \angle AMD + \angle ACD = {180^0}\)

Xét tứ giác \(ACDM\): \(\angle AMD + \angle ACD = {180^0}\)

Mà \(\angle AMD,\,\,\angle ACD\) là 2 góc đối nhau

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(ACDM\) là tứ giác nội tiếp (dhnb tgnt).

b) Chứng minh: BM.BD = BA.BC (1 điểm)

Xét \(\Delta BMA\) và \(\Delta BCD\)

\(\begin{array}{l}\angle CBD\,\,chung\\\angle BMA = \angle BCD = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta BMA \sim \Delta BCD\,\,\left( {g.g} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{BM}}{{BC}} = \dfrac{{BA}}{{BD}}\) (định nghĩa 2 tam giác đồng dạng)

\( \Rightarrow BM.BD = BA.BC\,\,\,\left( {dpcm} \right)\)

c) Chứng minh MA là phân giác \(\angle CME\) (1 điểm)

Xét \(\left( O \right)\): \(\angle AEB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

\( \Rightarrow \Delta AEB\) vuông tại \(E\)

\( \Rightarrow \angle ABE + \angle BAE = {90^0}\).

Mà \(\angle CDA + \angle CAD = {90^0}\) (do \(\Delta ACD\) vuông tại \(C\)).

\(\angle CAD = \angle BAE\) (2 góc đối đỉnh).

\( \Rightarrow \angle ABE = \angle CDA\,\,\left( 1 \right)\)

Xét \(\left( O \right)\): \(\angle ABE = \angle AME\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AE\)) (2)

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ACDM\): \(\angle CDA = \angle CMA\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\)) (3)

Từ (1), (2), (3) \( \Rightarrow \angle CMA = \angle EMA \Rightarrow MA\) là tua phân giác của \(\angle CME\) (đpcm).

d) Giả sử CA = 4 cm; AB = 9 cm. Tìm vị trí của điểm M trên (O) để khoảng cách giữa hai điểm D và E nhỏ nhất. (0.5 điểm)

\(DE = DA + AE\mathop \ge \limits^{Co - si} 2\sqrt {DA.AE} \)

Ta chứng minh được \(DA.AE = AC.AB = 4.9 = 36\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow DE \ge 2\sqrt {36} \Leftrightarrow DE \ge 12\\ \Rightarrow D{E_{\min }} = 12 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}DA = AE\\DE = 12\end{array} \right. \Rightarrow DA = AE = 6\,\,cm\end{array}\)

\(DC = \sqrt {D{A^2} - A{C^2}} = \sqrt {{6^2} - {4^2}} = \sqrt {20} \).

\(\Delta CDB\) vuông tại \(C \Rightarrow \tan \angle CBD = \dfrac{{CD}}{{CB}} = \dfrac{{\sqrt {20} }}{{13}}\).

Vậy \(DE\) nhỏ nhất \( = 12 \Leftrightarrow M \in \left( O \right)\) sao cho \(\tan \angle CBD = \dfrac{{\sqrt {20} }}{{13}}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link