Cho hàm số \(y = {x^3} - 6mx + 4\) có đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\). Gọi \({m_0}\) là giá trị của
Cho hàm số \(y = {x^3} - 6mx + 4\) có đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\). Gọi \({m_0}\) là giá trị của \(m\) để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của \(\left( {{C_m}} \right)\) cắt đường tròn tâm \(I\left( {1;0} \right)\), bán kính \(\sqrt 2 \) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) sao cho tam giác \(IAB\) có diện tích lớn nhất. Chọn khẳng định đúng.
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
+ Tính \(y'\).
+ Tìm điều kiện để đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) có điểm cực đại, cực tiểu.
+ Viết phương trình đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu.
+ Kẻ \(IH \bot AB\). Tính \({S_{\Delta AIB}} = \dfrac{1}{2}IH.AB\), tìm được giá trị lớn nhất của \({S_{\Delta AIB}}\)
+ Mặt khác \(IH = d\left( {I;AB} \right)\), từ đó tìm được \(m \Rightarrow {m_0}\)
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6m\)
Xét \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6m = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 2m\)
Hàm số có cực đại, cực tiểu \( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m > 0\)
Gọi hai điểm cực trị của đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) là: \(A\left( {\sqrt {2m} ;4 - 4m\sqrt {2m} } \right)\) và \(B\left( { - \sqrt {2m} ;4 + 4m\sqrt {2m} } \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2\sqrt {2m} ;8m\sqrt {2m} } \right) = 2\sqrt {2m} \left( { - 1;4m} \right)\)
\( \Rightarrow \) Một VTPT của đường thẳng \(AB:\overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {4m;1} \right)\)
Phương trình đường thẳng \(AB:4mx + y - 4 = 0\)
Kẻ \(IH \bot AB \Rightarrow H\) là trung điểm của \(AB\) (quan hệ đường kính và dây cung trong đường tròn)
Mặt khác, \(IH = d\left( {I;AB} \right)\,\,\,\left( {0 < IH < \sqrt 2 } \right)\)
\(\Delta IBH\) vuông tại \(H \Rightarrow I{B^2} = I{H^2} + H{B^2}\) (Định lý Py – ta – go)
\( \Rightarrow HB = \sqrt {2 - I{H^2}} \)
\( \Rightarrow AB = 2\sqrt {2 - I{H^2}} \)
Ta có: \({S_{\Delta IAB}} = \dfrac{1}{2}IH.AB = \dfrac{1}{2}IH.2\sqrt {2 - I{H^2}} = IH.\sqrt {2 - I{H^2}} \)
Suy ra, \({S_{\Delta IAB}} = IH.\sqrt {2 - I{H^2}} \le \dfrac{1}{2}\left( {I{H^2} + 2 - I{H^2}} \right) = 1\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow IH = \sqrt {2 - I{H^2}} \Leftrightarrow IH = 1\)
Khi đó, \(IH = d\left( {I;AB} \right) = \dfrac{{\left| {4m + 0 - 4} \right|}}{{\sqrt {16{m^2} + 1} }} = 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {16{m^2} + 1} = 4\left| {m - 1} \right|\\ \Leftrightarrow 16{m^2} + 1 = 16{m^2} - 32m + 16\\ \Leftrightarrow 32m = 15\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{{15}}{{32}} \approx 0,49\end{array}\)
Vậy \({m_0} \in \left( {0;1} \right)\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
