Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{e^x} + m\,\,\, & \,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\, \ge

Câu hỏi số 539732:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{e^x} + m\,\,\, & \,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\, \ge 0\\2x\sqrt {3 + {x^2}} \,\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\) liên tục trên \({\bf{R}}\). Tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng

A. \(I = e + 2\sqrt 3 - 22\)

B. \(I = e + 2\sqrt 3 + \dfrac{{22}}{3}\)

C. \(I = e - 2\sqrt 3 - \dfrac{{22}}{3}\)

D. \(I = e + 2\sqrt 3 - \dfrac{{22}}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:539732

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất liên tục của hàm số: hàm số đã cho liên tục trên \({\bf{R}}\) nên liên tục tại \(x = 0\).

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\), từ đó tìm được \(m\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{e^x} + m} \right) = m + 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {2x\sqrt {3 + {x^2}} } \right) = 0\)

Và \(f\left( 0 \right) = m + 1\)

Vì hàm số đã cho liên tục trên \({\bf{R}}\) nên liên tục tại \(x = 0\).

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\) hay \(m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\)

Khi đó: \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx = \int\limits_{ - 1}^0 {2x\sqrt {3 + {x^2}} dx + \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} - 1} \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {\sqrt {3 + {x^2}} d\left( {3 + {x^2}} \right) + \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} - 1} \right)dx} } } } \)

\( = \left. {\dfrac{2}{3}\left( {3 + {x^2}} \right)\sqrt {3 + {x^2}} } \right|_{ - 1}^0 + \left. {\left( {{e^x} - x} \right)} \right|_0^1 = c + 2\sqrt 3 - \dfrac{{22}}{3}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.