Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\left( {H \in BC} \right)\). Vẽ đường tròn

Câu hỏi số 540588:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\left( {H \in BC} \right)\). Vẽ đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(C\), bán kính \(CA\). Đường thẳng \(AH\) cắt đường tròn \(\left( C \right)\) tại điểm thứ hai là \(D\).

1) Chứng minh \(BD\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\).

2) Trên cung nhỏ \(AD\) của đường tròn \(\left( C \right)\) lấy điểm \(E\) sao cho \(HE//AB\). Đường thẳng \(BE\) cắt đường tròn \(\left( C \right)\) tại điểm thức hai là \(F\). Gọi \(K\) là trung điểm của \(EF\). Chứng minh rằng:

a) \(B{A^2} = BE.BF\) và \(\angle BHE = \angle BFC\).

b) Ba đường thẳng \(AF,ED\) và \(HK\) song song với nhau từng đôi một.

Giải chi tiết

1) Xét \(\Delta ACD\) có \(CA = CD\left( { = R} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta ACD\) cân tại \(C\) (dhnb tam giác cân)

Mà \(CH \bot AD\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow CH\) là phân giác của \(\angle ACD\)

\( \Rightarrow \angle ACB = \angle DCB\)

Xét \(\Delta ACB\) và \(\Delta DCB\) có:

\(\left. \begin{array}{l}CA = CD = R\\\angle ACB = \angle DCB\left( {cmt} \right)\\CB\,\,chung\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta ACB = \Delta DCB\left( {c.g.c} \right)\)\( \Rightarrow \angle CDB = \angle CAB\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\angle CAB = {90^0} \Rightarrow \angle CDB = {90^0}\)

\( \Rightarrow BD \bot CD\) tại \(D\)

\( \Rightarrow BD\) là tiếp tuyến \(\left( C \right)\) (dhnb tiếp tuyến đường tròn)

2) a) Xét \(\left( C \right):\angle EFA = \angle EAB\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung \(AB\))

Xét \(\Delta BAE\) và \(\Delta BFA\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle ABF\,\,chung\\\angle BAE = \angle BFA\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta BAE \sim \Delta BFA\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{BA}}{{BF}} = \dfrac{{BE}}{{BA}}\) (Định nghĩa hai tam giác đồng dạng)

\( \Rightarrow A{B^2} = BE.BF\) (đpcm)

b) *) Ta có:

\(\angle BHE = \angle BFC\left( {cmt} \right)\)

\(\angle BHE = \angle ABH\) (hai góc so le trong, \(HE//BC\))

\(\angle ABH = \angle DAC\) (cùng phụ \(\angle BCA\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle BFC = \angle DAC\\ \Leftrightarrow EFC = \angle DAC\\ \Leftrightarrow \angle EFA + \angle AFC = \angle DAF + \angle FAC\end{array}\)

Mà \(\angle AFC = \angle FAC(\Delta CAF\) cân tại \(C)\)

\( \Rightarrow \angle EFA = \angle DAF\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Xét \(\left( O \right):\angle DAF = \angle DEF\) (hai góc cùng chắn cung \(DF)\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2): \(\angle DEF = \angle EFA\)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong \( \Rightarrow FD//AF\)

*) \(EH \cap AF = \left\{ I \right\}\)

\(\Delta ACD\) cân tại \(C,CH \bot AD \Rightarrow CH\) là trung tuyến \(\Delta ACD\)

\( \Rightarrow HA \bot HD\)

Xét \(\Delta HED\) và \(\Delta HIA\) có:

\(\angle EHD = \angle IHA\) (hai góc đối đỉnh)

\(HD = HA\left( {cmt} \right)\)

\(\angle HDE = \angle HAF\left( { = EFA} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta HED = \Delta HIA\left( {g.c.g} \right)\)

\( \Rightarrow HE = HI\) (hai cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(EI\)

Mà \(K\) là trung điểm của \(EF\)

\( \Rightarrow HK\) là đường trung bình của \(\Delta EIF\)

\( \Rightarrow HK//IF\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}ED//AF\\HK//AF\left( {HK//IF} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow ED//HK//AF\) (đpcm)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:540588

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.