Cho \(a;b > 0\) và \(a + b = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(M = \left( {1 + \dfrac{1}{a}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{b}} \right)\).

Câu 540627: Cho \(a;b > 0\) và \(a + b = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(M = \left( {1 + \dfrac{1}{a}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{b}} \right)\).

A. \(MinM = 4 \Leftrightarrow a = b = 1\)

B. \(MinM = 9 \Leftrightarrow a = b = \dfrac{1}{2}\)

C. \(MinM = 6 \Leftrightarrow a = b = \dfrac{2}{3}\)

D. \(MinM = 4 \Leftrightarrow a = b = \dfrac{1}{2}\)

Câu hỏi : 540627

Phương pháp giải:

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}M = 1 + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{{ab}}\\\left. \begin{array}{l}M = 1 + \dfrac{{a + b + 1}}{{ab}}\\Do\,\,a + b = 1\end{array} \right\} \Rightarrow M = 1 + \dfrac{2}{{ab}}\end{array}\)
Áp dụng BĐT Cô – si cho \(a > 0,b > 0\)
Ta có: \(\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} ;\,a + b = 1\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {ab} \le \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow ab \le \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{ab}} \ge \dfrac{1}{{\,\dfrac{1}{4}\,}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{ab}} \ge 4\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{{ab}} \ge 8 \Leftrightarrow 1 + \dfrac{2}{{ab}} \ge 9\\ \Leftrightarrow M \ge 9\\ \Rightarrow MinM = 9 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\a + b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b\end{array}\)
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của \(M\) là \(9\) khi \(a = b = \dfrac{1}{2}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây