Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), đường kính \(AB\). Kẻ hai tiếp tuyến \(Ax,By\) với đường

Câu hỏi số 540626:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), đường kính \(AB\). Kẻ hai tiếp tuyến \(Ax,By\) với đường tròn (\(Ax,By\) cùng nửa mặt phẳng bờ \(AB\)). \(M\) là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn (khác \(A,B\), nằm trong nửa mặt phẳng bờ \(AB\) chứa \(Ax,By\)). Tiếp tuyến của đường tròn tại \(M\) cắt \(Ax,By\) lần lượt tại \(C\) và \(D\). Nối \(MA\) cắt \(OC\) tại \(E\). Nối \(MB\) cắt \(OD\) tại \(F\).

1) Chứng minh tứ giác \(OEMF\) là hình chữ nhật. (1,0 điểm)

2) Chứng minh \(AC.BD\) không đổi khi \(M\) chuyển động trên nửa đường tròn. (1,0 điểm)

3) Cho \(BD = R\sqrt 3 \). Tính \(AM\). (1,0 điểm)

4) Kẻ \(MH \bot AB\) tại \(H\). Chứng minh rằng khi \(M\) di động trên nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) thì đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HEF\) luôn đi qua một điểm cố định. (0,5 điểm)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:540626

Giải chi tiết

a) Tứ giác \(OEMF\) là hình chữ nhật

\(CA,CM\) là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) (gt)

\( \Rightarrow OC\) là phân giác \(\angle AOM\) (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét \(\Delta OAM:OA = OM = R\)

\( \Rightarrow \Delta OAM\) cân tại \(O\) (dhnb tam giác cân)

Mà \(OC\) là phân giác \(\angle AOM\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow OC \bot AM\) (t/c tam giác cân)

\( \Rightarrow \angle OEM = {90^0}\)

Chứng minh tương tự: \(\angle OFM = {90^0}\)

Xét \(\left( O \right):\angle AMB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác \(OEMF:\left\{ \begin{array}{l}\angle EMF = {90^0}\left( {cmt} \right)\\\angle OEM = {90^0}\left( {cmt} \right)\\\angle OFM = {90^0}\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(OEMF\) là hình chữ nhật (đpcm).

b) \(CA,CM\) là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right) \Rightarrow CA = CM\) (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)

Chứng minh tương tự: \(DB = DM\)

\(\Delta COD\) vuông tại \(O\,(\angle EOF = {90^0},OEMF\) là hình chữ nhật\()\)

Mà \(OM \bot CD\,(CD\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right))\)

\( \Rightarrow MC.MD = M{O^2}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MC = CA;MD = BD\left( {cmt} \right)\\MO = R\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow CA.DB = {R^2}\) không đổi.

c) \(\Delta OBD\) vuông tại \(B\)

\(\tan \angle BOD = \dfrac{{BD}}{{OB}} = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{R} = \sqrt 3 \)

\( \Rightarrow \angle BOD = {60^0} \Rightarrow \angle OBF = {30^0}\,\,(\Delta OBF\) vuông tại \(F)\)

Xét \(\Delta AMB\) vuông tại \(M\)

\(AM = AB.\sin \angle ABM = 2R\sin {30^0} = 2R.\dfrac{1}{2} = R\)

Vậy \(AM = R\).

d) \(\Delta AHM\) vuông tại \(H\)

\(HE\) là trung tuyến (\(E\) là trung điểm của \(AM\))

\( \Rightarrow HE = \dfrac{1}{2}AM\) (t/c đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

\( \Leftrightarrow HE = EM\)

Chứng minh tương tự: \(HF = FM\)

Ta chứng minh được: \(\Delta EHF = \Delta EHF\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow \angle EHF = \angle EMF = {90^0}\)

Xét tứ giác \(OHEF:\angle EHF = \angle EOF = {90^0}\)

\(H,O\) là hai đỉnh kề nhau

\( \Rightarrow OHEF\) là tứ giác nội tiếp

\( \Rightarrow \) Đường tròn ngoại tiếp \(\Delta HEF\) đi qua \(O\) cố định.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link