Cho (O;R) và điểm C nằm ngoài (O). Qua C kẻ hai tiếp tuyến CA, CB với (O). Tia BO cắt (O) tại D và
Cho (O;R) và điểm C nằm ngoài (O). Qua C kẻ hai tiếp tuyến CA, CB với (O). Tia BO cắt (O) tại D và cắt tia CA tại E.
1) Chứng minh bốn điểm C, A, O, B cùng thuộc một đường tròn. (1 điểm)
2) Chứng minh rằng: ED. EB = EA2. (1 điểm)
3) Giả sử OC = 2R. Tính số đo góc E. (1 điểm)
4) OC cắt AB tại H và cắt (O) tại I. Chứng minh rằng \(\dfrac{{HI}}{{HC}} < \dfrac{1}{2}\) (0,5 điểm)
Quảng cáo
1) Chứng minh bốn điểm C, A, O, B cùng thuộc một đường tròn. (1 điểm)
Ta có \(OA \bot AC\) (AC là tiếp tuyến của (O))
\( \Rightarrow \angle OAC = {90^0}\)
\(OB \bot BC\) (AB là tiếp tuyến của (O)).
\( \Rightarrow \angle OBC = {90^0}\)
\( \Rightarrow \angle OAC + \angle OBC = {180^0}\).
Xét tứ giác \(OACB\) có \(\angle OAC + \angle OBC = {180^0}\).
Mà \(\angle OAC,\,\,\angle OBC\) là 2 góc đối nhau.
\( \Rightarrow OABC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb tgnt)
\( \Rightarrow O,\,\,A,\,\,C,\,\,B\) cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh rằng: ED. EB = EA2. (1 điểm)
Xét \(\left( O \right)\): \(\angle ABD = \angle DAE\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AD).
Xét \(\Delta EAD\) và \(\Delta EBA\) có:
\(\begin{array}{l}\angle E\,\,chung\\\angle EAD = \angle ABE\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta EAD \sim \Delta EBA\,\,\left( {g.g} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{EA}}{{EB}} = \dfrac{{ED}}{{EA}}\) (định nghĩa 2 tam giác đồng dạng)
\( \Rightarrow EB.ED = E{A^2}\,\,\left( {dpcm} \right)\).
3) Giả sử OC = 2R. Tính số đo góc E. (1 điểm)
\(\Delta AOC\) vuông tại A \(\left( {\angle OAC = {{90}^0}} \right)\)
\(\begin{array}{l}\cos \angle AOC = \dfrac{{OA}}{{OC}} = \dfrac{R}{{2R}} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \angle AOC = {60^0}\end{array}\)
CA, CB là 2 tiếp tuyến của \(\left( O \right)\,\,\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow OC\) là phân giác của \(\angle AOB\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow \angle AOB = 2\angle AOC = {2.60^0} = {120^0}\).
Mà \(\angle AOE + \angle AOB = {180^0}\) (2 góc kề bù).
\( \Rightarrow \angle AOE = {180^0} - {120^0} = {60^0}\).
Mà \(\angle AOE + \angle E = {90^0}\) (\(\Delta AOE\) vuông tại \(A\)).
\( \Rightarrow \angle E = {90^0} - {60^0} = {30^0}\).
4) OC cắt AB tại H và cắt (O) tại I. Chứng minh rằng \(\dfrac{{HI}}{{HC}} < \dfrac{1}{2}\) (0,5 điểm)
CA, CB là 2 tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) \( \Rightarrow CO\) là phân giác của \(\angle ACB\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
\( \Rightarrow CI\) là phân giác của \(\angle ACB\). (1)
Xét \(\left( O \right)\):
\(\angle AOI = \angle BOI\) (OC là phân giác \(\angle AOB\))
\( \Rightarrow sdcungAI = sdcungBI\)
Mà \(\angle ABI = \dfrac{1}{2}sdcungAI\) (góc nội tiếp chắn cung AI)
\(\angle CBI = \dfrac{1}{2}sdcungBI\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây chắn cung BI)
\( \Rightarrow \angle ABI = \angle CBI\) \( \Rightarrow BI\) là phân giác của \(\angle ABC\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow I\) là giao điểm 3 đường phân giác của \(\Delta ABC\)
\( \Rightarrow I\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\).
*) Ta chứng minh được \(CH \bot AB\)
Kẻ \(IK \bot AC\)
Ta có \(IK < IC\) (quan hệ đường vuông góc, đường xiên)
\( \Leftrightarrow IK + IH < IC + IH\)
Mà \(IK = IH\) (I là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\)).
\( \Rightarrow IH + IH < CH \Leftrightarrow 2HI < HC \Leftrightarrow \dfrac{{HI}}{{HC}} < \dfrac{1}{2}\,\,\left( {dpcm} \right)\).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
