Hai gương phẳng giống nhau AB và AC được đặt hợp với nhau một góc \({60^0}\), mặt phản xạ

Câu hỏi số 540651:

Vận dụng cao

Hai gương phẳng giống nhau AB và AC được đặt hợp với nhau một góc \({60^0}\), mặt phản xạ hướng vào nhau (ABC tạo thành tam giác đều). Một nguồn sáng điểm S di chuyển trên đoạn BC. Ta chỉ xét trong mặt phẳng hình vẽ. Gọi \({S_1}\) là ảnh của S qua AB, \({S_2}\) là ảnh của \({S_1}\) qua AC.

a) Hãy nêu cách vẽ đường đi của tia sáng phát ra từ S, phản xạ lần lượt trên AB, AC rồi quay về S. Chứng tỏ rằng độ dài đường đi đó bằng \(S{S_2}\).

b) Gọi M, N là hai điểm bất kì tương ứng trên AB và AC. Hãy chứng tỏ rằng đường đi của tia sáng trong câu a) không lớn hơn chu vi tam giác SMN.

c) Với vị trí nào của S trên BC để tổng đường đi của tia sáng trong câu a) bé nhất?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:540651

Phương pháp giải

Áp dụng định luật phản xạ ánh sáng

Giải chi tiết

a) – Lấy \({S_1}\) đối xứng với S qua gương AB

- Lấy \({S_2}\) đối xứng với \({S_1}\) qua gương AC

- Lấy S’ đối xứng với S qua gương AC

- Nối \(S'{S_1}\) cắt AB tại I, cắt AC tại J, đường truyền tia sáng là SIJS

Do \({S_1}\) đối xứng với S qua AB \( \Rightarrow AS = A{S_1}\)

Do \({S_2}\) đối xứng với \({S_1}\) qua AC \( \Rightarrow A{S_1} = A{S_2}\)

Do S’ đối xứng với S qua AC \( \Rightarrow AS = AS'\)

\( \Rightarrow AS = A{S_1} = A{S_2} = AS' \to S,\,\,{S_1},\,\,{S_2},\,\,S'\) nằm trên đường tròn tâm A, bán kính AS

Lại có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}IS = I{S_1}\\J{S_1} = J{S_2} \Rightarrow I{S_1} + IJ = J{S_2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow IS + IJ + JS = I{S_1} + IJ + JS = J{S_2} + JS\\ \Rightarrow {C_{SIJ}} = S{S_2}\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Gọi O là giao điểm của IJ và MN

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}M{S_1} = MS\\M{S_1} + MO \ge O{S_1}\end{array} \right. \Rightarrow MS + MO \ge O{S_1}\,\,\left( 1 \right)\\\left\{ \begin{array}{l}NS = NS'\\NS' + NO \ge OS'\end{array} \right. \Rightarrow NS + NO \ge OS'\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) ta có:

\(\begin{array}{l}MS + MO + NO + NS \ge O{S_1} + OS'\\ \Rightarrow MS + MN + NS \ge {S_1}S'\end{array}\)

Lại có \(SS'{S_2}{S_1}\) là hình thang cân \( \Rightarrow {S_1}S' = S{S_2}\)

\( \Rightarrow MS + MN + NS \ge S{S_2} \Rightarrow {C_{SMN}} \ge {C_{SIJ}}\,\,\left( {dpcm} \right)\)

Theo đề bài ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AB = AC\\\widehat {BAC} = {60^0}\end{array} \right. \to \Delta ABC\) đều \( \Rightarrow \widehat C = {60^0}\)

Đặt \(AB = AC = BC = a;\,\,CS = x\)

Ta có: \(HC = CS.cos\widehat C = x.cos{60^0} = \dfrac{x}{2}\)

\( \Rightarrow AH = AC - HC = a - \dfrac{x}{2}\)

Mặt khác: \(HS = SC.\sin \widehat C = x.sin{60^0} = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2}\)

Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác SHA vuông tại H, ta có:

\(\begin{array}{l}S{A^2} = A{H^2} + S{H^2} = {\left( {a - \dfrac{x}{2}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{x\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}\\ \Rightarrow S{A^2} = {a^2} + {x^2} - ax = \left( {{x^2} - 2x.\dfrac{1}{2}a + \dfrac{1}{4}{a^2}} \right) + \dfrac{3}{4}{a^2}\\ \Rightarrow S{A^2} = {\left( {x - \dfrac{a}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4}{a^2}\end{array}\)

Lại có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {SAB} = \widehat {{S_1}AB}\\\widehat {SAC} = \widehat {S'AC}\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {{S_1}AS'} = 2\widehat {BAC} = {120^0}\)

Độ dài dây cung \({S_1}S'\) là:

\(\begin{array}{l}{S_1}S' = 2SA.\sin \dfrac{{\widehat {{S_1}AS'}}}{2} = 2SA\sin {60^0} = SA.\sqrt 3 \\ \Rightarrow {S_1}S{'^2} = 3S{A^2} = 3\left[ {{{\left( {x - \dfrac{a}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}{a^2}} \right]\end{array}\)

Ta thấy \(\left( {{S_1}S{'^2}} \right)\min = 3.\dfrac{3}{4}{a^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{a}{2} \to \) S là trung điểm của BC

Khi đó: \(\left( {{S_1}S'} \right)\min = \sqrt {\dfrac{{9{a^2}}}{4}} = 1,5a\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link