Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB, M là một điểm
Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB, M là một điểm trên cung BC nhỏ. Kẻ \(CH \bot AM\,\,\left( {H \in AM} \right)\); AM cắt OC tại E.
1) Chứng minh: Tứ giác OEMB là tứ giác nội tiếp. (1đ)
2) Chứng minh: Tam giác HCM vuông cân và OH là phân giác của \(\angle COM\) (1đ)
3) Gọi giao điểm của tia OH với BC là I và giao điểm thứ hai của đường thẳng MI với đường tròn (O) là D. Chứng minh: MC//BD (1đ)
4) Gọi giao điểm của OH và BM là N. Khi M di chuyển trên cung BC nhỏ thì điểm N di chuyển trên đường nào? (0,5đ)
Quảng cáo
1) Chứng minh: Tứ giác OEMB là tứ giác nội tiếp. (1đ)
Xét \(\left( O \right):\,\,sdcAC = sdcCB = \dfrac{1}{2}sdcAB\) (C là điểm chính giữa cung AB)
\( \Leftrightarrow sdcAC = sdcCB = {90^0}\)
\( \Rightarrow \angle COB = sdcCB = {90^0}\) (góc ở tâm chắn cung CB)
\(\angle AMB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \Rightarrow \angle EOB + \angle EMB = {180^0}\)
Xét tứ giác \(OEMB\) có: \(\angle EOB + \angle EMB = {180^0}\,\,\left( {cmt} \right)\)
Mà \(\angle EOB,\,\,\angle EMB\) là 2 góc đối nhau.
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(OEMB\) là tứ giác nội tiếp (dhnb tgnt).
2) Chứng minh: Tam giác HCM vuông cân và OH là phân giác của \(\angle COM\) (1đ)
Xét \(\left( O \right)\): \(\angle CMA = \dfrac{1}{2}sdcCA\) (góc nội tiếp chắn cung CA)
\( \Leftrightarrow \angle CMA = \dfrac{1}{2}{.90^0} = {45^0}\)
Ta có: \(\angle CMH + \angle HCM = {90^0}\) (\(\Delta HCM\) vuông tại \(H\))
\( \Leftrightarrow \angle HCM = {90^0} - {45^0} = {45^0}\)
Xét \(\Delta HCM\): \(\angle HCM = \angle HMC\,\,\left( { = {{45}^0}} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta HCM\) cân tại \(H\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)
Mà \(\angle CHM = {90^0}\,\,\left( {CH \bot AM} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta HCM\) vuông cân tại H (dhnb tam giác vuông cân)
*) Xét \(\Delta COH\) và \(\Delta MOH\) có:
\(\begin{array}{l}OH\,\,chung\\OC = OM = R\\HC = HM\,\,\left( {\Delta HCM\,\,vuong\,\,can} \right)\\ \Rightarrow \Delta COH = \Delta MOH\,\,\left( {c.c.c} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle COH = \angle MOH\) (2 góc tương ứng)
\( \Rightarrow OH\) là phân giác của \(\angle COM\) (đpcm).
3) Gọi giao điểm của tia OH với BC là I và giao điểm thứ hai của đường thẳng MI với đường tròn (O) là D. Chứng minh: MC//BD (1đ)
Xét \(\Delta COI\) và \(\Delta MOI\)
\(\begin{array}{l}OC = OM = R\\\angle COI = \angle MOI\,\,\left( {cmt} \right)\\OI\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta COI = \Delta MOI\,\,\left( {c.g.c} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow IC = IM\) (2 cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow \Delta CIM\) cân tại I (dhnb tam giác cân)
\( \Rightarrow \angle ICM = \angle IMC\) (tính chất tam giác cân) (1)
Xét \(\left( O \right)\): \(\angle CMD = \angle CBD\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CD) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle MCB = \angle CBD\,\,\left( { = \angle IMC} \right)\)
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong \( \Rightarrow MC//BD\) (dhnb 2 đường thẳng song song).
4) Gọi giao điểm của OH và BM là N. Khi M di chuyển trên cung BC nhỏ thì điểm N di chuyển trên đường nào? (0,5đ)
Xét \(\left( O \right):\,\,\angle CBM = \dfrac{1}{2}\angle COM\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung CM)
Mà \(\angle CON = \dfrac{1}{2}\angle COM\) (OH là phân giác \(\angle COM\))
\( \Rightarrow \angle CON = \angle CBN\)
Mà O, B là 2 đỉnh kề nhau của tứ giác OCNB.
\( \Rightarrow \) Tứ giác OCNB là tứ giác nội tiếp (dhnb tgnt)
\( \Rightarrow \angle CNB + \angle COB = {180^0}\) (tính chất tứ giác nội tiếp)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \angle CNB = {180^0} - {90^0}\\ \Leftrightarrow \angle CNB = {90^0}\end{array}\)
C, B cố định
\( \Rightarrow N\) thuộc đường tròn đường kính CB.
Giới hạn:
\(\begin{array}{l}M \equiv B \Rightarrow N \equiv B\\M \equiv C \Rightarrow N \equiv C\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Khi M di chuyển trên cung BC nhỏ thì N thuộc nửa đường tròn đường kính BC (thuộc nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm O).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
