Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Có đường cao \(AH\), đường trung tuyến \(BM\) và đường phân

Câu hỏi số 540969:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Có đường cao \(AH\), đường trung tuyến \(BM\) và đường phân giác \(CD\) đồng quy tại \(O\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{BC}}{{AC}} = \dfrac{{BH}}{{CH}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:540969

Phương pháp giải

Kẻ \(MI \bot BC\) tại \(I\)

Ta sẽ chứng minh: \(CH = 2HI\)

Vận dụng định lý Ta – lét và tính chất đường phân giác trong tam giác để chứng minh.

Giải chi tiết

Kẻ \(MI \bot BC\) tại \(I\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MI \bot BC\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow MI//AH\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

\(\Delta ACH\) có \(M\) là trung điểm của \(AC\) và \(MI//AH\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow MI\) là đường trung bình của \(\Delta ACH\)

\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(HC\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow HI = CI\\ \Rightarrow CH = 2HI\end{array}\)

Xét \(\Delta BMI\) có: \(OH//MI\)

\( \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{HI}} = \dfrac{{BO}}{{OM}}\) (định lý Ta – lét)

Xét \(\Delta BCM\) có: \(CO\) là phân giác của \(\angle BCM \Rightarrow \dfrac{{BO}}{{OM}} = \dfrac{{BC}}{{MC}}\) (tính chất đường phân giác trong tam giác)

Ta có: \(\dfrac{{BH}}{{CH}} = \dfrac{{BH}}{{2HI}} = \dfrac{{BO}}{{2OM}} = \dfrac{{BC}}{{2CM}} = \dfrac{{BC}}{{AC}}\)

Vậy \(\dfrac{{BC}}{{AC}} = \dfrac{{BH}}{{CH}}\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link