Cho \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\). Đường cao \(AH\) và đường phân giác \(BE\) cắt nhau tại
Cho \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\). Đường cao \(AH\) và đường phân giác \(BE\) cắt nhau tại \(I\). Chứng minh rằng \(CE = 2HI.\)
Quảng cáo
Sử dụng kiến thức về đường cao, đường phân giác trong tam giác vuông cân; góc ngoài trong tam giác.
Vận dụng tính chất đường phân giác trong tam giác.
+ \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\left( {gt} \right)\), ta có: \(\angle B = \angle C = {45^0}\)
Mặt khác, \(AH\) là đường cao nên \(AH\) là đường phân giác \(\angle BAC \Rightarrow \angle BAH = \angle CAH = \dfrac{1}{2}{.90^0} = {45^0}\)
+ \(BE\) là phân giác của \(\angle ABC \Rightarrow \angle ABE = \angle BEC = \dfrac{1}{2}\angle B\)\( = \angle C\) \(\left( {do\,\,\angle B = \angle C\left( {cmt} \right)} \right)\)
Ta có: \(\angle AIE = \angle ABI + \angle BAI = \dfrac{1}{2}\angle A + \angle EBC = {45^0} + \angle EBC = \angle C + \angle EBC = \angle AEB\)
\( \Rightarrow \angle AIE = \angle AEI \Rightarrow \Delta AIE\) cân tại \(A \Rightarrow AI = AE\,\,\left( 1 \right)\)
Xét \(\Delta ABH\) có \(BI\) là phân giác của \(\angle ABH \Rightarrow \dfrac{{IH}}{{IA}} = \dfrac{{BH}}{{BA}}\) (tính chất đường phân giác trong tam giác)
\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AI}} = \dfrac{{BH}}{{IH}}\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Xét \(\Delta ABC\) có \(BE\) là phân giác của \(\angle ABC \Rightarrow \dfrac{{EC}}{{EA}} = \dfrac{{BC}}{{BA}}\) (tính chất đường phân giác trong tam giác)
\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AE}} = \dfrac{{BC}}{{EC}}\,\,\,\,\left( 3 \right)\)
Từ (1), (2) và (3), suy ra \(\dfrac{{BH}}{{IH}} = \dfrac{{BC}}{{EC}}\,\,\,\,\left( 4 \right)\)
Vì \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A \Rightarrow BC = 2BH\)
Từ (4), ta có: \(\dfrac{{BH}}{{IH}} = \dfrac{{2BH}}{{EC}} \Rightarrow EC = 2IH\left( {dpcm} \right)\)
Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
