1) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + \sqrt {x + 1} = 4\\\left( {x + y}

Câu hỏi số 541108:

Vận dụng

1) Giải hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + \sqrt {x + 1} = 4\\\left( {x + y} \right) - 3\sqrt {x + 1} = - 5\end{array} \right.\)

2. Cho phương trình \({x^2} - \left( {m + 5} \right)x + 3m + 6 = 0\) (1)

a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi \(m\).

b) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:541108

Giải chi tiết

1) Giải hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + \sqrt {x + 1} = 4\\\left( {x + y} \right) - 3\sqrt {x + 1} = - 5\end{array} \right.\)

Điều kiện \(x \ge - 1\)

Đặt \(x + y = u;\quad \sqrt {x + 1} = v\quad (v \ge 0)\)

Ta có hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2u + v = 4\\u - 3v = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6u + 3v = 12\\u - 3v = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7u = 7\\u - 3v = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 2(tmdk)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\\sqrt {x + 1} = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\x + 1 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 2\\x = 3(tmdk)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (3;-2)

2. Cho phương trình \({x^2} - \left( {m + 5} \right)x + 3m + 6 = 0\) (1)

a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Ta có \(\begin{array}{l}\Delta = {\left[ { - \left( {m + 5} \right)} \right]^2} - 4.1.\left( {3m + 6} \right) = {m^2} + 10m + 25 - 12m - 24\\\Delta = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\forall m\end{array}\)

Nên phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi \(m\).

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5.

*) Phương trình (1) có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông Û (1) có hai nghiệm dương.

\(\Delta \ge {\rm{ }}0,{\rm{ }}S{\rm{ }} > {\rm{ }}0,{\rm{ }}P > {\rm{ }}0\)

Giải ra ta được \(m > - 2\)

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có

\(x_1^2 + x_2^2 = {5^2} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 25\quad (2)\)

Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình (1) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 5\\{x_1}.{x_2} = 3m + 6\end{array} \right.\)

Thay vào (2) ta có: \({\left( {m + 5} \right)^2} - 2\left( {3m + 6} \right) = 25 \Leftrightarrow {m^2} + 4m - 12 = 0\)

Giải phương trình ta có \(\left[ \begin{array}{l}m = 2\,\left( {tmdk} \right)\\m = - 6\,\left( L \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(m = 2\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link