Có tất cả bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \({z^2}\) là số thực và \(\left| {z - 2 - i} \right| =

Câu hỏi số 541283:

Vận dụng

Có tất cả bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \({z^2}\) là số thực và \(\left| {z - 2 - i} \right| = 2\)?

A. \(2\)

B. \(1\)

C. \(4\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:541283

Phương pháp giải

- Đặt \(z = a + bi\).

- Tính \({z^2}\). Số phức là số thực khi có phần ảo bằng 0.

- Thay \(z = a + bi\) vào giả thiết \(\left| {z - 2 - i} \right| = 2\).

- Lập hệ và giải hệ tìm \(a,\,\,b\).

Giải chi tiết

Đặt \(z = a + bi\,\).

+) Ta có: \({z^2} = {\left( {a + bi} \right)^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi\) là số thực \( \Rightarrow 2ab = 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\).

+) Lại có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left| {z - 2 - i} \right| = 2\,\\ \Leftrightarrow \left| {a + bi - 2 - i} \right| = 2\\ \Leftrightarrow \left| {a - 2 + \left( {b - 1} \right)i} \right| = 2\,\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 4\end{array}\)(1)

Thay \(a = 0\) vào (1) \( \Rightarrow {2^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow b = 1\).

Thay \(b = 0\) vào (1) \( \Rightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {1^2} = 4 \Leftrightarrow a = 2 \pm \sqrt 3 \).

Vậy có 3 số phức thỏa mãn điều kiện đề bài là \(z = i,\,\,z = 2 \pm \sqrt 3 \).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.