Cho đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB\) và dây \(AB\) vuông góc với \(AB\)

Câu hỏi số 541399:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB\) và dây \(AB\) vuông góc với \(AB\) tại điểm \(F\) . Trên cung nhỏ \(BC\) lấy điểm \(M\) (\(M\) không trùng với \(B\) và \(C\) ), đường thẳng \(AM\) cắt đường thẳng \(CD\) tại \(E\) .

a) Chứng minh tứ giác EFBM nội tiếp được trong một đường tròn và \(\angle CMA = \angle DMA\)

b) Gọi giao điểm của hai đường thẳng \(AC\) và \(BM\) là \(K\) ; giao điểm của hai đường thẳng \(DM\) và \(AB\) là \(I\) ; giao điểm của hai đường thẳng \(AM\) và \(BC\) là \(N\) . Chứng minh ba điểm \(K,N,I\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:541399

Phương pháp giải

a) + Vận dụng dấu hiệu nhận biết: tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

+ Sử dụng kiến thức góc nội tiếp cùng chắn cung trong đường tròn.

b) Ta sẽ chứng minh: \(KN \bot AB\) và \(NI \bot AB\) tại \(I\) , từ đó suy ra \(K,N,I\) thẳng hàng.

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác EFBM nội tiếp được trong một đường tròn và \(\angle CMA = \angle DMA\)

Vì \(M \in \left( O \right)\) ; \(AB\) là đường kính của \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \angle AMB = {90^0}\)

Ta có: \(CD \bot AB\) tại \(F\) (gt), \(E \in CD\) \( \Rightarrow \angle EFB = {90^0}\)

Xét tứ giác \(EFBM\) , có:

\(\begin{array}{l}\angle AMB = {90^0}\\\angle EFB = {90^0}\end{array}\)

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(EFBM\) nội tiếp một đường tròn (đpcm)

Vì \(CD \bot AB\) tại \(F\) (gt) \( \Rightarrow F\) là trung điểm của \(CD\) (định lí về mối liên hệ giữa đường kính và dây cung)

Xét \(\Delta ACD\) có:

\(F\) là trung điểm của \(CD\) (cmt)

\(AF \bot CD\) (do \(AB \bot CD\) , \(F \in AB)\))

\( \Rightarrow AF\) là đường cao đồng thời là đường trung trực của \(\Delta ACD\)

\( \Rightarrow \Delta ACD\) cân tại \(A\)

\( \Rightarrow \angle ACD = \angle ADC\) (tính chất)

Mà \(\angle ADC = \angle CMA\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\))

\(\angle AMD = \angle ACD\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AD\))

Do đó: \(\angle AMD = \angle CMA\) (đpcm)

Ta có: \(\angle ACB = {90^o}\) ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow CB \bot AC\) hay \(CB \bot AK\,\)

\(\angle AMB = {90^o}\)( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow AM \bot MB\) hay \(AM \bot BK\)

Xét \(\Delta AKB\) có:

\(\begin{array}{l}CB \bot AK\\AM \bot KB\end{array}\)

Mà \(CB \cap AN = \left\{ N \right\}\)

\( \Rightarrow N\) là trực tâm của \(\Delta AKB\)

\( \Rightarrow KN\) là đường cao thứ ba của \(\Delta AKB\)

\( \Rightarrow KN \bot AB\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\angle NMI = \angle IBN\) (cùng bù với góc \(\angle ADC\) )

Xét tứ giác \(NMBI\) có: \(\angle NMI = \angle IBN\) (cmt)

Mà hai góc này cùng nhìn cạnh \(IN\) dưới một góc không đổi.

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(NMBI\) nội tiếp một đường tròn

\( \Rightarrow \angle NMB + \angle NIB = {180^0}\) (2 góc đối nhau)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {90^0} + \angle NIB = {180^0}\\ \Rightarrow \angle NIB = {90^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow NI \bot IB\) tại \(I\) hay \(NI \bot AB\) tại \(I\) \(\left( 2 \right)\)

\(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow K,N,I\) thẳng hàng (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link