Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a,\) cạnh bên bằng \(3a\). Khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SCD} \right)\) bằng

Câu 541597: Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a,\) cạnh bên bằng \(3a\). Khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SCD} \right)\) bằng

A. \(\dfrac{{a\sqrt {14} }}{3}\).

B. \(\dfrac{{a\sqrt {14} }}{2}\).

C. \(\dfrac{{a\sqrt {14} }}{4}\).

D. \(a\sqrt {14} \).

Câu hỏi : 541597

Phương pháp giải:

- Gọi \(O = AC \cap BD\). Khi đó: \(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)\).

- Gọi \(F\) là trung điểm của \(CD\). Chứng minh \(\left( {SCD} \right) \bot \left( {SOF} \right)\).

- Trong \(\left( {SOF} \right)\) kẻ \(OH \bot SF\) chứng minh \(OH \bot \left( {SCD} \right)\).

- Tính \(d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)\) rồi suy ra \(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)\). Sử dụng định lí Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(O = AC \cap BD\) \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\) \( \Rightarrow SO \bot CD\) (1)

Gọi \(F\) là trung điểm của \(CD\).

Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(OF \bot CD\) (2)

Từ (1), (2) ta có \(CD \bot \left( {SOF} \right)\,\, \Rightarrow \left( {SCD} \right) \bot \left( {SOF} \right)\).

Trong \(\left( {SOF} \right)\) kẻ \(OH \bot SF\) \( \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OH\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\) nên \(AC = 2a\sqrt 2 \) \( \Rightarrow OC = a\sqrt 2 \)

Tam giác \(SOC\) vuông tại \(O\) nên \(SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} = \sqrt {9{a^2} - 2{a^2}} = a\sqrt 7 \).

Tam giác \(DOC\) vuông cân tại \(O\) có \(OF\) là đường trung tuyến nên \(OF = \dfrac{{DC}}{2} = a\)

Tam giác \(SOF\) vuông tại \(O\) có đường cao \(OH\) nên \(OH = \dfrac{{SO.OF}}{{\sqrt {S{O^2} + O{F^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 7 .a}}{{\sqrt {7{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {14} }}{4}\).

Ta có: \(AO \cap \left( {SCD} \right) = C \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{AC}}{{OC}} = 2\)\( \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {14} }}{2}\).

Vậy khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SCD} \right)\) bằng \(\dfrac{{a\sqrt {14} }}{2}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.