Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a,\) cạnh bên bằng \(3a\). Khoảng cách từ \(A\)
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a,\) cạnh bên bằng \(3a\). Khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SCD} \right)\) bằng
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Gọi \(O = AC \cap BD\). Khi đó: \(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)\).
- Gọi \(F\) là trung điểm của \(CD\). Chứng minh \(\left( {SCD} \right) \bot \left( {SOF} \right)\).
- Trong \(\left( {SOF} \right)\) kẻ \(OH \bot SF\) chứng minh \(OH \bot \left( {SCD} \right)\).
- Tính \(d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)\) rồi suy ra \(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)\). Sử dụng định lí Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Gọi \(O = AC \cap BD\) \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\) \( \Rightarrow SO \bot CD\) (1)
Gọi \(F\) là trung điểm của \(CD\).
Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(OF \bot CD\) (2)
Từ (1), (2) ta có \(CD \bot \left( {SOF} \right)\,\, \Rightarrow \left( {SCD} \right) \bot \left( {SOF} \right)\).
Trong \(\left( {SOF} \right)\) kẻ \(OH \bot SF\) \( \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OH\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\) nên \(AC = 2a\sqrt 2 \) \( \Rightarrow OC = a\sqrt 2 \)
Tam giác \(SOC\) vuông tại \(O\) nên \(SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} = \sqrt {9{a^2} - 2{a^2}} = a\sqrt 7 \).
Tam giác \(DOC\) vuông cân tại \(O\) có \(OF\) là đường trung tuyến nên \(OF = \dfrac{{DC}}{2} = a\)
Tam giác \(SOF\) vuông tại \(O\) có đường cao \(OH\) nên \(OH = \dfrac{{SO.OF}}{{\sqrt {S{O^2} + O{F^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 7 .a}}{{\sqrt {7{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {14} }}{4}\).
Ta có: \(AO \cap \left( {SCD} \right) = C \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{AC}}{{OC}} = 2\)\( \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {14} }}{2}\).
Vậy khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SCD} \right)\) bằng \(\dfrac{{a\sqrt {14} }}{2}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
