Gọi \(S\)là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\)thuộc \(\left( { - 2021\,;\,2022} \right)\) sao cho hàm số \(y = 2{x^3} + m{x^2} + 2x\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2\,;\,0} \right)\). Tìm số phần tử của tập hợp \(S\).

Câu 541616: Gọi \(S\)là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\)thuộc \(\left( { - 2021\,;\,2022} \right)\) sao cho hàm số \(y = 2{x^3} + m{x^2} + 2x\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2\,;\,0} \right)\). Tìm số phần tử của tập hợp \(S\).

A. 2023.

B. 2016.

C. 2024.

D. 2025.

Câu hỏi : 541616

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Tính \(y'\).

- Hàm số \(y = 2{x^3} + m{x^2} + 2x\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2\,;\,0} \right)\) nếu \(y' \ge 0,\,\,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\). Dấu xảy ra tại hữu hạn điểm.

Đáp án : C
(39) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \(y = 2{x^3} + m{x^2} + 2x\) \( \Rightarrow y' = 6{x^2} + 2mx + 2\).
Có \(\Delta ' = {m^2} - 12\).
Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\) thì \(y' \ge 0\), \(\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\) dấu xảy ra tại hữu hạn điểm.
TH1: Xét \(\Delta ' \le 0 \Leftrightarrow {m^2} - 12 \le 0 \Leftrightarrow - 2\sqrt 3 \le m \le 2\sqrt 3 \).
Khi đó: \(y' = 6{x^2} + 2mx + 2 \ge 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Rightarrow \)\(y' = 6{x^2} + 2mx + 2 \ge 0,\,\,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\) .
TH2: Xét \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 12 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\sqrt 3 \\m < - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)
Khi đó phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm thực phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\).
Để \(y' \ge 0\), \(\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} < {x_2} < - 2\\0 < {x_1} < {x_2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) > 0\\{x_1} + {x_2} < - 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} > 0\\{x_1} + {x_2} > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{3}m + 4 > 0\\ - \dfrac{m}{3} < - 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{3} > 0\\ - \dfrac{m}{3} > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{{13}}{2}\\m > 12\end{array} \right.\,\,vo\,\,nghiem\\m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 0\).
Kết hợp với \(\left[ \begin{array}{l}m > 2\sqrt 3 \\m < - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\) ta được \(m < - 2\sqrt 3 \).
Kết hợp 2 trường hợp suy ra \(m \le 2\sqrt 3 \) thì hàm số đồng biến trên \(\left( { - 2;0} \right)\).
Mà \(m \in \mathbb{Z},\,\,m \in \left( { - 2021;2022} \right)\) nên \(m \in \left\{ { - 2020;\, - 2019;...;2;3} \right\}\)
Vậy có 2024 giá trị \(m\) thỏa mãn.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.