Gọi \(S\)là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\)thuộc \(\left( { - 2021\,;\,2022}

Câu hỏi số 541616:

Vận dụng

Gọi \(S\)là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\)thuộc \(\left( { - 2021\,;\,2022} \right)\) sao cho hàm số \(y = 2{x^3} + m{x^2} + 2x\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2\,;\,0} \right)\). Tìm số phần tử của tập hợp \(S\).

A. 2023.

B. 2016.

C. 2024.

D. 2025.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:541616

Phương pháp giải

- Tính \(y'\).

- Hàm số \(y = 2{x^3} + m{x^2} + 2x\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2\,;\,0} \right)\) nếu \(y' \ge 0,\,\,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\). Dấu xảy ra tại hữu hạn điểm.

Giải chi tiết

Ta có: \(y = 2{x^3} + m{x^2} + 2x\) \( \Rightarrow y' = 6{x^2} + 2mx + 2\).

Có \(\Delta ' = {m^2} - 12\).

Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\) thì \(y' \ge 0\), \(\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\) dấu xảy ra tại hữu hạn điểm.

TH1: Xét \(\Delta ' \le 0 \Leftrightarrow {m^2} - 12 \le 0 \Leftrightarrow - 2\sqrt 3 \le m \le 2\sqrt 3 \).

Khi đó: \(y' = 6{x^2} + 2mx + 2 \ge 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Rightarrow \)\(y' = 6{x^2} + 2mx + 2 \ge 0,\,\,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\) .

TH2: Xét \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 12 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\sqrt 3 \\m < - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)

Khi đó phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm thực phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\).

Để \(y' \ge 0\), \(\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} < {x_2} < - 2\\0 < {x_1} < {x_2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) > 0\\{x_1} + {x_2} < - 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} > 0\\{x_1} + {x_2} > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{3}m + 4 > 0\\ - \dfrac{m}{3} < - 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{3} > 0\\ - \dfrac{m}{3} > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{{13}}{2}\\m > 12\end{array} \right.\,\,vo\,\,nghiem\\m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 0\).

Kết hợp với \(\left[ \begin{array}{l}m > 2\sqrt 3 \\m < - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\) ta được \(m < - 2\sqrt 3 \).

Kết hợp 2 trường hợp suy ra \(m \le 2\sqrt 3 \) thì hàm số đồng biến trên \(\left( { - 2;0} \right)\).

Mà \(m \in \mathbb{Z},\,\,m \in \left( { - 2021;2022} \right)\) nên \(m \in \left\{ { - 2020;\, - 2019;...;2;3} \right\}\)

Vậy có 2024 giá trị \(m\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.