Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(-1;-1;-4), N(1;-1;-2). Mặt cầu (S) thay đổi luôn đi qua M, N và

Câu hỏi số 542561:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(-1;-1;-4), N(1;-1;-2). Mặt cầu (S) thay đổi luôn đi qua M, N và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy). Tiếp điểm giữa (S) và mặt phẳng (Oxy) chạy trên một đường tròn cố định có bán kính r bằng:

A. 2

B. 4

C. 5

D. 3

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:542561

Phương pháp giải

- Gọi H là tiếp điểm của mặt cầu (S) và (Oxy), K là giao điểm của MN và (Oxy). Áp dụng phương trình phương tích của đường thẳng và mặt cầu ta có \(KM.KN = K{H^2}\).

- Chứng minh K cố định, KH không đổi.

- Viết phương trình đường thẳng MN, tìm tọa độ điểm \(K = MN \cap \left( {Oxy} \right)\).

- Tính KM, KN và suy ra KH.

Giải chi tiết

Gọi H là tiếp điểm của mặt cầu (S) và (Oxy), K là giao điểm của MN và (Oxy).

Áp dụng phương trình phương tích của đường thẳng và mặt cầu ta có \(KM.KN = K{H^2}\).

Vì M, N cố định, (Oxy) cố định nên K cố định => KM.KN không đổi => KH không đổi.

=> H di chuyển trên đường tròn tâm K bán kính KH.

Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( {2;0;2} \right) = 2\left( {1;0;1} \right)\) nên phương trình đường thẳng MN là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 1\\z = - 2 + t\end{array} \right.\).

Vì \(K \in MN \Rightarrow K\left( {1 + t; - 1; - 2 + t} \right)\). Mà \(K \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow - 2 + t = 0 \Leftrightarrow t = 2\) \( \Rightarrow K\left( {3; - 1;0} \right)\).

Ta có \(KM = \sqrt {{4^2} + {0^2} + {4^2}} = 4\sqrt 2 \), \(KN = \sqrt {{2^2} + {0^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow K{H^2} = KM.KN = 4\sqrt 2 .2\sqrt 2 = 16 \Rightarrow KH = 4\).

Vậy H chạy trên đường tròn cố định bán kính r = 4.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.