Phương trình \({\log _2}\left| {{x^2} - x\sqrt 2 } \right| = {\log _5}\left( {{x^2} - x\sqrt 2 + 2} \right)\)

Câu hỏi số 542562:

Vận dụng

Phương trình \({\log _2}\left| {{x^2} - x\sqrt 2 } \right| = {\log _5}\left( {{x^2} - x\sqrt 2 + 2} \right)\) có số nghiệm là:

A. 4

B. 1

C. 2

D. 3

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:542562

Phương pháp giải

- Đặt \(t = {\log _2}\left| {{x^2} - x\sqrt 2 } \right| = {\log _5}\left( {{x^2} - x\sqrt 2 + 2} \right)\), đưa về phương trình ẩn t.

- Giải phương trình bằng phương pháp xét tính đơn điệu.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x\sqrt 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne \sqrt 2 \end{array} \right.\\{x^2} - x\sqrt 2 + 2 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right.\)

Đặt \(t = {\log _2}\left| {{x^2} - x\sqrt 2 } \right| = {\log _5}\left( {{x^2} - x\sqrt 2 + 2} \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {{x^2} - x\sqrt 2 } \right| = {2^t}\\{x^2} - x\sqrt 2 + 2 = {5^t}\end{array} \right.\)

TH1: \({x^2} - x\sqrt 2 = {2^t}\) \( \Rightarrow {2^t} + 2 = {5^t}\).

Chia cả 2 vế phương trình cho \({5^t}\) ta có \({\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^t} + 2.{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^t} = 1\).

Dễ thấy VT nghịch biến trên \(\mathbb{R}\), vế phải không đổi nên phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất duy nhất.

Với nghiệm t vừa tìm được, phương trình có 2 nghiệm x.

TH2: \({x^2} - x\sqrt 2 = - {2^t} \Rightarrow - {2^t} + 2 = {5^t} \Leftrightarrow {5^t} + {2^t} = 2\)

Dễ thấy VT đồng biến trên \(\mathbb{R}\), vế phải không đổi nên phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất duy nhất. Dễ thấy phương trình có nghiệm t = 0.

\( \Rightarrow {x^2} - x\sqrt 2 + 1 = 0\) (vô nghiệm).

Vậy phương trình ban đầu có 2 nghiệm.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.