Cho \(\Delta ABC\) nhọn, \(AD\) là đường trung tuyến, \(M\) là trung điểm của \(AD\). Tia \(BM\) cắt

Câu hỏi số 543969:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) nhọn, \(AD\) là đường trung tuyến, \(M\) là trung điểm của \(AD\). Tia \(BM\) cắt \(AC\) tại \(P\), đường thẳng song song với \(AC\) kẻ từ \(D\) cắt \(BP\) tại \(E\).

a) Chứng minh \(PA = ED\). Tính \(\dfrac{{AP}}{{AC}}\).

b) Tia \(CM\) cắt \(AB\) tại \(Q\). Chứng minh \(PQ//BC\).

c) Chứng minh \(PQ.MB = BC.MP\).

d) Tính \(\dfrac{{{S_{\Delta AQP}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543969

Phương pháp giải

a) \(\Delta MAP \sim \Delta MDE(g.g) \Rightarrow \dfrac{{AP}}{{DE}} = \dfrac{{AM}}{{MD}} = 1\); \(DE = \dfrac{1}{2}PC \Rightarrow 3AP = AC\)

b) Định lí Talet đảo: \(DF = \dfrac{1}{2}QB \Rightarrow \dfrac{{AQ}}{{AB}} = \dfrac{{AP}}{{AC}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow PQ//BC\)

c) \(\Delta MQP \sim \Delta MCB(g.g) \Rightarrow \dfrac{{PQ}}{{BC}} = \dfrac{{MP}}{{MB}}\)

d) Nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

Giải chi tiết

a) \(M\) là trung điểm của \(AD\left( {gt} \right) \Rightarrow AM = MD \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{MD}} = 1\)

Vì \(AP//DE\left( {gt} \right) \Rightarrow \Delta MAP \sim \Delta MDE(g.g) \Rightarrow \dfrac{{AP}}{{DE}} = \dfrac{{AM}}{{MD}} = 1 \Rightarrow AP = DE\)(đpcm)

\(\Delta BCP\) có: \(D\) là trung điểm của \(BC\)

\(DE//CP\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow DE\) là đường trung bình của \(\Delta BPC \Rightarrow DE = \dfrac{1}{2}PC\)

Mà \(AP = DE\left( {cmt} \right)\)\( \Rightarrow AP = \dfrac{1}{2}PC\)\( \Rightarrow PC = 2AP\)

Ta có:\(AP + PC = AC \Leftrightarrow 3AP = AC \Leftrightarrow \dfrac{{AP}}{{AC}} = \dfrac{1}{3}\)

b) Kẻ \(DF//AB(F \in QC)\).

Vì \(AQ//DE \Rightarrow \Delta MAQ \sim \Delta MDF(g.g) \Rightarrow \dfrac{{AQ}}{{DF}} = \dfrac{{MA}}{{MD}} = 1 \Rightarrow AQ = DF\)

Ta có \(DF\) là đường trung bình của \(\Delta BQC \Rightarrow DF = \dfrac{1}{2}QB \Rightarrow \dfrac{{AQ}}{{AB}} = \dfrac{1}{3}\)

Xét \(\Delta ABC:\dfrac{{AP}}{{AC}} = \dfrac{{AQ}}{{AB}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow PQ//BC\)(định lí Talet đảo)

c) Vì \(PQ//BC(cmt) \Rightarrow \Delta MQP \sim \Delta MCB(g.g) \Rightarrow \dfrac{{PQ}}{{BC}} = \dfrac{{MP}}{{MB}} \Rightarrow PQ.MB = BC.MP\)(đpcm)

d) Vì \(QP//BC(cmt) \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta AQP(g.g)\) mà

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link