Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) và \(O\) là trung điểm của \(BC\). Một điểm \(D\) di động trên

Câu hỏi số 543970:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) và \(O\) là trung điểm của \(BC\). Một điểm \(D\) di động trên \(AB\), lấy điểm \(E\) trên \(AC\) sao cho \(CE = \dfrac{{O{B^2}}}{{BD}}\). Chứng minh rằng

a)\(\Delta DBO \sim \Delta OCE\).

b) \(\Delta DOE \sim \Delta DBO \sim \Delta OCE\).

c) \(DO,EO\) lần lượt là phân giác của \(\angle BDE,\angle CED\).

d) Khoảng cách từ \(O\) đến đoạn \(ED\) không đổi khi \(D\) di động trên \(AB\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543970

Phương pháp giải

a) \(\Delta DBO \sim \Delta OCE(c.g.c)\)

b) \(\Delta DBO \sim \Delta OCE(cmt) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{DO}}{{DB}} = \dfrac{{OE}}{{OC}}\\\angle DOB = \angle OEC\end{array} \right.\)

\(\angle DOE = \angle B = \angle C\)\( \Rightarrow \Delta DOE \sim \Delta DBO(c.g.c)\)

d) Tính chất đường phân giác của một góc: Mọi điểm nằm trên đường phân giác sẽ cách đều hai cạnh của góc đó và ngược lại.

\(O\) cố định (\(O\) là trung điểm \(BC\)) và \(OI = OH \Rightarrow OI,OH\) không đổi khi \(D\) di chuyển.

Giải chi tiết

a)\(CE = \dfrac{{O{B^2}}}{{BD}}(gt) \Rightarrow \dfrac{{CE}}{{OB}} = \dfrac{{OB}}{{BD}}\)

\(\Delta ABC\) cân tại \(A \Rightarrow \angle B = \angle C\)

Xét \(\Delta DBO\) và \(\Delta OCE\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle B = \angle C\\\dfrac{{CE}}{{OB}} = \dfrac{{OB}}{{BD}}\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta DBO \sim \Delta OCE(c.g.c)\)

b) Vì \(\Delta DBO \sim \Delta OCE(cmt) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{DO}}{{DB}} = \dfrac{{OE}}{{OC}}\\\angle DOB = \angle OEC\end{array} \right.\)

Áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác vào \(\Delta EOC:\angle OEC + \angle C + \angle EOC = 180^\circ \)

Ta có : \(\angle DOB + \angle DOE + \angle EOC = 180^\circ \)

\( \Rightarrow \angle DOE = \angle B = \angle C\)

Xét \(\Delta DOE\) và \(\Delta DBO\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\dfrac{{DO}}{{DB}} = \dfrac{{OE}}{{OB}}(OC = OB)\\\angle DOE = \angle B(cmt)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta DOE \sim \Delta DBO(c.g.c)\)

Vậy \(\Delta DOE \sim \Delta DBO \sim \Delta OCE\)(đpcm)

c) Vì \(\Delta DOE \sim \Delta DBO(cmt) \Rightarrow \angle BDO = \angle ODE \Rightarrow DO\) là phân giác của \(\angle BDE\).

Vì \(\Delta DOE \sim \Delta OCE(cmt) \Rightarrow \angle DEO = \angle OEC \Rightarrow OE\) là phân giác của \(\angle DEC\).

d) Gọi \(OH,OI\) là khoảng cách từ \(O\) đến \(CE,DE \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OH \bot CE(H \in CE)\\OI \bot DE(I \in DE)\end{array} \right.\)

Vì \(OE\) là phân giác của \(\angle DEC\)(cmt)\( \Rightarrow OI = OH\)(tính chất đường phân giác của một góc)

Vì \(O\) cố định (\(O\) là trung điểm \(BC\)) \( \Rightarrow \)\(OI,OH\) không đổi khi \(D\) di chuyển.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link