Cho \(\Delta ABC\), trung tuyến \(AM\). Qua điểm \(D\) thuộc cạnh \(BC\), vẽ đường thẳng song song

Câu hỏi số 543971:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\), trung tuyến \(AM\). Qua điểm \(D\) thuộc cạnh \(BC\), vẽ đường thẳng song song với \(AM\), cắt \(AB,AC\) tại \(E,F\).

a) Chứng minh \(DE + DF\) không đổi khi \(D\) di động trên \(BC\).

b) Qua \(A\) vẽ đường thẳng song song với \(BC\), cắt \(FE\) tại \(K\). Chứng minh rằng \(K\) là trung điểm của \(FE\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543971

Phương pháp giải

a) \(\dfrac{{DE}}{{AM}} = \dfrac{{BD}}{{BM}} \Rightarrow DE = \dfrac{{BD}}{{BM}}.AM\)

\(\dfrac{{DF}}{{AM}} = \dfrac{{CD}}{{CM}} \Rightarrow DF = \dfrac{{CD}}{{CM}}.AM = \dfrac{{CD}}{{BM}}.AM\)

\( \Rightarrow DE + DF = 2AM\)

b) \(\Delta FKA \sim \Delta AMC(g.g) \Rightarrow \dfrac{{FK}}{{AM}} = \dfrac{{KA}}{{CM}}\)

\(\Delta EKA \sim \Delta EDB(g.g) \Rightarrow \dfrac{{EK}}{{ED}} = \dfrac{{KA}}{{BD}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{FK}}{{AM}} = \dfrac{{EK}}{{AM}} \Rightarrow FK = EK\)

Giải chi tiết

a) Vì \(DE//AM(gt) \Rightarrow \Delta BDE \sim \Delta BMA(g.g) \Rightarrow \dfrac{{DE}}{{AM}} = \dfrac{{BD}}{{BM}} \Rightarrow DE = \dfrac{{BD}}{{BM}}.AM(1)\)

\(DF//AM(gt) \Rightarrow \Delta CDF \sim \Delta CMA(g.g) \Rightarrow \dfrac{{DF}}{{AM}} = \dfrac{{CD}}{{CM}} \Rightarrow DF = \dfrac{{CD}}{{CM}}.AM = \dfrac{{CD}}{{BM}}.AM(2)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow DE + DF = \dfrac{{BD}}{{BM}}.AM + \dfrac{{CD}}{{BM}}.AM = \left( {\dfrac{{BD}}{{BM}} + \dfrac{{CD}}{{BM}}} \right).AM = \dfrac{{BC}}{{BM}}.AM = 2AM\) không đổi

b) Vì \(AK//BC \Rightarrow \Delta FKA \sim \Delta AMC(g.g) \Rightarrow \dfrac{{FK}}{{AM}} = \dfrac{{KA}}{{CM}}\)

Vì \(AK//BD(gt) \Rightarrow \Delta EKA \sim \Delta EDB(g.g) \Rightarrow \dfrac{{EK}}{{ED}} = \dfrac{{KA}}{{BD}}\)

Ta có: \(\dfrac{{EK}}{{ED}} = \dfrac{{KA}}{{BD}} \Rightarrow \dfrac{{EK}}{{ED + EK}} = \dfrac{{KA}}{{BD + KA}} \Rightarrow \dfrac{{EK}}{{KD}} = \dfrac{{KA}}{{BD + DM}} \Rightarrow \dfrac{{EK}}{{AM}} = \dfrac{{KA}}{{BM}} \Rightarrow \dfrac{{EK}}{{AM}} = \dfrac{{KA}}{{CM}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{FK}}{{AM}} = \dfrac{{EK}}{{AM}} \Rightarrow FK = EK\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link