Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), \(\angle BAC = 20^\circ ,AB = AC = b,BC = a\). Chứng minh rằng \({a^3} + {b^3}

Câu hỏi số 543972:

Vận dụng cao

Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), \(\angle BAC = 20^\circ ,AB = AC = b,BC = a\). Chứng minh rằng \({a^3} + {b^3} = 3a{b^2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543972

Phương pháp giải

Nếu tam giác vuông có một góc bằng\(30^\circ \)thì cạnh đối diện với góc ấy bằng nửa cạnh huyền.

\(\left. \begin{array}{l}CE = \dfrac{{B{C^2}}}{{AB}} = \dfrac{{{a^2}}}{b}\\A{B^2} = B{D^2} + E{A^2} - D{E^2}\end{array} \right\} \Rightarrow {b^2} = \dfrac{{{b^2}}}{4} + \left( {b - \dfrac{{{a^2}}}{b}} \right) - {\left( {\dfrac{b}{2} - a} \right)^2}\)

Giải chi tiết

Lấy điểm \(E\) trên cạnh \(AC\) sao cho \(\angle ABE = 60^\circ .\)

Dựng \(AD \bot BE \Rightarrow BD = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}b\)

Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(\angle ABC = \angle ACB = \dfrac{{180^\circ - \angle BAC}}{2} = 80^\circ \)

\(\angle ABC = \angle CBE + \angle ABD \Rightarrow \angle CBE = 20^\circ \)(dựng hình)

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta BCE\) có :

\(\left. \begin{array}{l}\angle ACB\;chung\\\angle BAC = \angle CBE = 20^\circ \end{array} \right\} \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta BCE(g.g) \Rightarrow \dfrac{{CE}}{{BC}} = \dfrac{{BC}}{{AB}} \Rightarrow CE = \dfrac{{B{C^2}}}{{AB}} = \dfrac{{{a^2}}}{b}\)

Ngoài ra \(\dfrac{{BE}}{{AB}} = \dfrac{{BC}}{{AC}} \Rightarrow BE = BC = a\)

Ta có\(AE = AC - CE = b - \dfrac{{{a^2}}}{b};\;DE = BD - BE = \dfrac{b}{2} - a\)

Áp dụng định lí Py – ta – go vào các \(\Delta AED,\Delta ABD\) ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}A{E^2} = E{D^2} + A{D^2} \Rightarrow A{D^2} = A{E^2} - E{D^2}\\A{B^2} = B{D^2} + A{D^2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow A{B^2} = B{D^2} + E{A^2} - D{E^2}\) \( \Leftrightarrow {b^2} = \dfrac{{{b^2}}}{4} + \left( {b - \dfrac{{{a^2}}}{b}} \right) - {\left( {\dfrac{b}{2} - a} \right)^2} = \dfrac{{{b^2}}}{4} + {b^2} + \dfrac{{{a^4}}}{{{b^2}}} - 2{a^2} - \dfrac{{{b^4}}}{4} - {a^2} + ab\)

\( \Leftrightarrow {b^4} = {b^4} + {a^4} - 3{a^2}{b^2} + a{b^3} \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} = 3a{b^2}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link