Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A(AC > AB)\), đường cao \(AH(H \in BC)\). Trên tia \(HC\) lấy điểm

Câu hỏi số 543973:

Vận dụng cao

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A(AC > AB)\), đường cao \(AH(H \in BC)\). Trên tia \(HC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(HD = HA\). Đường thẳng vuông góc với \(BC\) tại \(D\) cắt \(AC\) tại \(E\).

a)Chứng minh rằng: \(\Delta BEC \sim \Delta ADC\). Tính độ dài đoạn \(BE\) theo \(m = AB\).

b) Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn \(BE\). Chứng minh rằng:. Tính số đo của \(\angle AHM\).

c) Tia \(AM\) cắt \(BC\) tại \(G\). Chứng minh: \(\dfrac{{GB}}{{BC}} = \dfrac{{HD}}{{AH + HC}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543973

Phương pháp giải

a) \(\Delta CDE \sim \Delta CAB(g.g) \Rightarrow \dfrac{{CD}}{{CE}} = \dfrac{{CA}}{{CB}}\)

\(\Delta BEC \sim \Delta ADC(c.g.c)\)\( \Rightarrow \angle AEB = 45^\circ \)\( \Rightarrow BE = m\sqrt 2 \)

b) \(\Delta ABH \sim \Delta ABC(g.g) \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{AB}} = \dfrac{{AH}}{{AC}} = \dfrac{{AD}}{{AC}}\)

\(\dfrac{{BM}}{{BC}} = \dfrac{{BH}}{{AB\sqrt 2 }} = \dfrac{{BH}}{{BE}}\)\( \Rightarrow \Delta BHM \sim \Delta BEC(c.g.c)\)

\(\widehat {BHM} = \widehat {BEC} = {135^0} \Rightarrow \widehat {AHM} = {45^0}\)

c) \(\left. \begin{array}{l}\angle BAM = \angle CAM \Rightarrow \dfrac{{GB}}{{GC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\\\Delta CAH \sim \Delta CED(g.g) \Rightarrow \dfrac{{ED}}{{DC}} = \dfrac{{AH}}{{HC}} = \dfrac{{HD}}{{HC}}\\\Delta ABC \sim \Delta DEC(cmt) \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{ED}}{{DC}}\end{array} \right\} \Rightarrow \dfrac{{GB}}{{GC}} = \dfrac{{HD}}{{HC}}\)

Giải chi tiết

a) Xét \(\Delta CDE\) và \(\Delta CAB\)có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle ACB\;chung\\\angle BAC = \angle EDC = 90^\circ \end{array} \right\} \Rightarrow \Delta CDE \sim \Delta CAB(g.g) \Rightarrow \dfrac{{CD}}{{CE}} = \dfrac{{CA}}{{CB}}\)

Xét \(\Delta BEC\) và \(\Delta ADC\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle C\;chung\\\dfrac{{CD}}{{CE}} = \dfrac{{CA}}{{CB}}(cmt)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta BEC \sim \Delta ADC(c.g.c) \Rightarrow \angle BEC = \angle ADC\)

Ta có \(\Delta AHD\) vuông cân tại \(H \Rightarrow \angle ADH = \angle ADE = 45^\circ \)

\(\angle BEC = \angle ADC = \angle ADE + \angle EDC = 45^\circ + 90^\circ = 135^\circ \)

\(\angle AEB + \angle BEC = 180^\circ \Rightarrow \angle AEB = 45^\circ \Rightarrow \Delta AEB\) vuông cân tại \(A\).

Áp dụng định lí Py – ta - go vào \(\Delta AEB\) vuông cân tại \(A\): \(B{E^2} = A{B^2} + A{E^2} = {m^2} + {m^2} = 2{m^2}\)\( \Rightarrow BE = m\sqrt 2 \)

b) Vì \(\Delta BEC \sim \Delta ADC(cmt) \Rightarrow \dfrac{{BE}}{{BC}} = \dfrac{{AD}}{{AC}}\)

Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ABC\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle BAC = \angle BHA = 90^\circ \\\angle ABH\;chung\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta ABH \sim \Delta ABC(g.g) \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{AB}} = \dfrac{{AH}}{{AC}} = \dfrac{{AD}}{{AC}}\)

Áp dụng định lí Py – ta – go vào \(\Delta AHD\) vuông cân tại \(H \Rightarrow A{D^2} = A{H^2} + H{D^2} \Rightarrow AD = AH\sqrt 2 \)

Ta có \(\dfrac{{BM}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{BE}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{AH\sqrt 2 }}{{AC}} = \dfrac{{BH}}{{AB\sqrt 2 }} = \dfrac{{BH}}{{BE}}\)

Xét \(\Delta BHM\) và \(\Delta BEC\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle ABC\;chung\\\dfrac{{BM}}{{BC}} = \dfrac{{BH}}{{BE}}(cmt)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta BHM \sim \Delta BEC(c.g.c) \Rightarrow \angle BHM = \angle BEC = 135^\circ \)

Ta có \(\angle BHM = \angle AHB + \angle AHM \Rightarrow \angle AHM = \angle BHM - \angle AHB = 135^\circ - 90^\circ = 45^\circ \)

c) Vì \(\Delta ABE\) vuông cân tại\(A\) mà \(AM\) là trung tuyến \( \Rightarrow AM\) là phân giác của \(\angle BAC\)

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có: \(\dfrac{{GB}}{{GC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\).

Vì \(\left. \begin{array}{l}AH \bot BC(gt)\\ED \bot BC(gt)\end{array} \right\} \Rightarrow AH//ED \Rightarrow \Delta CAH \sim \Delta CED(g.g) \Rightarrow \dfrac{{ED}}{{DC}} = \dfrac{{AH}}{{HC}} = \dfrac{{HD}}{{HC}}\)

Mà \(\Delta ABC \sim \Delta DEC(cmt) \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{ED}}{{DC}}\)

\(\dfrac{{GB}}{{GC}} = \dfrac{{HD}}{{HC}} \Rightarrow \dfrac{{GB}}{{GB + GC}} = \dfrac{{HD}}{{HD + HC}} \Rightarrow \dfrac{{GB}}{{BC}} = \dfrac{{HD}}{{AH + HC}}\)(đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link