Cho x và y là hai số thực dương thay đổi sao cho log2 (x+y)= 3+log2 x+log2 y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 54488:

Cho x và y là hai số thực dương thay đổi sao cho log₂(x+y)= 3+log₂x+log₂y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= $\frac{\sqrt{3^{2x}+3^{-2y}}}{3^{x+1}+3^{-y}}$

A. -10

B. $\frac{1}{\sqrt{10}}$

C. - $\frac{1}{\sqrt{10}}$

D. 10

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:54488

Giải chi tiết

Từ giả thiết log₂(x+y)= 3+log₂x+log₂ysuy ra x+y = 8xy ≤ 2(x+y)² => x+y ≥ $\frac{1}{2}$

Ta có P = $\frac{\sqrt{3^{2x}+3^{-2y}}}{3^{x+1}+3^{-y}}$ = $\frac{\sqrt{3^{2x+2y}+1}}{3.3^{x+y}+1}$ . Đặt t= 3^x+y. Vì x+y ≥ nên t ≥ √3

Lúc đó: P = $\frac{\sqrt{t^{2}+1}}{3t+1}$ = f(t)

Xét hàm số f(t) = $\frac{\sqrt{t^{2}+1}}{3t+1}$ trên [√3; +∞). Ta có f’(t) = $\frac{t-3}{(3t+1)^{2}\sqrt{t^{2}+1}}$ ; f’(t) = 0 < => t=3

Bảng biến thiên:

Vậy P ≥ $\frac{1}{\sqrt{10}}$ . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} x+y=1\\ x+y=8xy\\ x,y>0 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{2+\sqrt{2}}{4}\\ x=\frac{2-\sqrt{2}}{4} \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} x=\frac{2-\sqrt{2}}{4}\\ y=\frac{2+\sqrt{2}}{4} \end{matrix}\right.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là $\frac{1}{\sqrt{10}}$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.