Trong không gian Oxyz cho ba đường thẳng \({d_1}:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{1},\)

Câu hỏi số 545192:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz cho ba đường thẳng \({d_1}:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{1},\) \({d_2}:\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{2},\) \({d_3}:\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 2}}\). Mặt phẳng \(\left( P \right):{\rm{ }}ax + by + cz--1 = 0\) với a, b nguyên dương, đi qua M(2;0;1) và cắt 3 đường thẳng trên tại ba điểm là ba đỉnh của một tam giác đều. Hỏi (P) đi qua điểm nào sau đây

A. (1;3;3)

B. (1;2;3)

C. (2;1;3)

D. (3;3;1)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:545192

Phương pháp giải

- Xác định các VTCP của \({d_1},\,\,{d_2},\,\,{d_3}\) lần lượt là \({u_1},\,\,{u_2},\,\,{u_3}\).

- Chứng minh 3 đường thẳng đã cho đôi một vuông góc và đồng quy tại A.

- Chứng minh chóp ABCD là chóp tam giác đều.

- Gọi H là trọng tâm tam giác ABC, chứng minh \(\overrightarrow n = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} \) là một VTPT của (P).

- Giải hệ \(\overrightarrow {{n_P}} = k\left( {\overrightarrow {{u_1}} \pm \overrightarrow {{u_2}} \pm \overrightarrow {{u_3}} } \right)\), thử các trường hợp tìm \(k\). Từ đó suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) và xác định điểm thuộc \(\left( P \right)\).

Giải chi tiết

Ta có các VTCP của \({d_1},\,\,{d_2},\,\,{d_3}\) lần lượt là: \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;2;1} \right),\) \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 2;2} \right),\) \(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {2; - 1; - 2} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = \overrightarrow {{u_2}} .\overrightarrow {{u_3}} = \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_3}} = 0\).

Suy ra ba đường thẳng đã cho đôi một vuông góc.

Lại có A(1;–1;1) nằm trên cả ba đường thẳng đã cho, nên chúng đồng quy tại A.

Vì \(M \in \left( P \right) \Leftrightarrow 2a + c - 1 = 0 \Leftrightarrow c = 1 - 2a\), suy ra (P) nhận \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {a;b;1{\rm{ }}--{\rm{ }}2a} \right)\) làm VTPT.

Giả sử (P) cắt ba đường thẳng đã cho lần lượt tại B, C, D thì tam giác BCD đều.

Khi đó ABCD là tứ diện vuông, chóp ABCD là chóp đều.

Gọi H là trọng tâm tam giác BCD \( \Rightarrow AH \bot \left( {BCD} \right)\) hay \(AH \bot \left( P \right)\) và \(\overrightarrow {AH} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow n = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} \) là một VTPT của (P).

\( \Leftrightarrow \left( {a;b;1 - 2a} \right) = k\left( {\overrightarrow {{u_1}} \pm \overrightarrow {{u_2}} \pm \overrightarrow {{u_3}} } \right){\rm{ }}\left( {k \ne 0} \right)\)

Thử các trường hợp, ta có \(\left( {a;b;1 - 2a} \right) = \left( {1;1; - 1} \right) \Rightarrow \left( P \right):x + y - z - 1 = 0\).

Vậy mặt phẳn (P) đi qua điểm (1;3;3).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.