Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (ABCD). Giá trị của \(\sin \alpha \) bằng:

Câu 546115: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (ABCD). Giá trị của \(\sin \alpha \) bằng:

A. \(\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

B. \(\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\)

D. \(\sqrt 2 \)

Câu hỏi : 546115

Phương pháp giải:

- Gọi I là trung điểm của AC, xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng định lí Pytago tính D’I.

- Tính \(\sin \alpha = \)đối/huyền.

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của AC. Vì ABCD là hình vuông nên \(DI \bot AC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}DI \bot AC\\DD' \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {DD'I} \right) \Rightarrow AC \bot D'I\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ACD'} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AC\\D'I \subset \left( {ACD'} \right),\,D'I \bot AC\\DI \subset \left( {ABCD} \right),\,\,DI \bot AC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( {\left( {ACD'} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {D'I,DI} \right) = \angle DID' = \alpha \).

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên \(DI = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông DID’ có: \(D'I = \sqrt {DD{'^2} + D{I^2}} = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

Vậy \(\sin \alpha = \dfrac{{DD'}}{{D'I}} = \dfrac{a}{{\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}}} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.