Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x2 + 2x + 1 và đường thẳng y = (m+1)x + 5 có giá

Câu hỏi số 546126:

Vận dụng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x² + 2x + 1 và đường thẳng y = (m+1)x + 5 có giá trị nhỏ nhất bằng

A. \(\dfrac{{16}}{3}\)

B. \(\dfrac{{48}}{3}\)

C. \(\dfrac{{64}}{3}\)

D. \(\dfrac{{32}}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:546126

Phương pháp giải

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu.

- Sử dụng: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

- Tính x₂– x₁ bằng cách áp dụng định lí Vi-et, từ đó tính S theo m. Đánh giá và tìm GTNN của S.

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

x² + 2x + 1 = (m+1)x + 5 <=> x²+ (1-m)x – 4 = 0 (1)

Ta có ac = 1.(-4) = -4 < 0 nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu.

Giả sử phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x₁ < x₂.

Ta có:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {{x^2} + \left( {1 - m} \right)x - 4} \right|dx} = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {{x^2} + \left( {1 - m} \right)x - 4} \right)dx} } \right|\\\,\,\,\,\, = \left| {\left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} + \left( {1 - m} \right)\dfrac{{{x^2}}}{2} - 4x} \right)} \right|_{{x_1}}^{{x_2}}} \right| = \dfrac{1}{6}\left| {\left. {\left( {2{x^3} + 3\left( {1 - m} \right){x^2} + 24x} \right)} \right|_{{x_1}}^{{x_2}}} \right|\\\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{6}\left| {\left. {\left[ {\left( {{x^2} + \left( {1 - m} \right)x - 4} \right)\left( {2x + 1 - m} \right) - \left( {{m^2} - 2m + 17} \right)x + 4\left( {1 - m} \right)} \right]} \right|_{{x_1}}^{{x_2}}} \right|\\\,\,\,\,\, = \left| {\dfrac{{{m^2} - 2m + 17}}{6}\left( {{x_2} - {x_1}} \right)} \right| = \left| {\dfrac{{{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 16}}{6}\left( {{x_2} - {x_1}} \right)} \right|\end{array}\)

Theo định lí Vi-et ta có: x₁ + x₂ = m – 1 và x₁.x₂ = -4.

Khi đó ta có: \({x_2} - {x_1} = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} = \sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 16} \)

Do đó \(S = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 16} } \right)}^3}}}{6} \ge \dfrac{{{{\sqrt {16} }^3}}}{6} = \dfrac{{32}}{3}\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m = 1.

Vậy GTNN của S bằng \(\dfrac{{32}}{3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.