Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Một mặt cầu (J) (J và S cùng phía với (ABCD)) tiếp xúc với
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Một mặt cầu (J) (J và S cùng phía với (ABCD)) tiếp xúc với (ABCD) tại A, đồng thời tiếp xúc ngoài với mặt cầu nội tiếp hình chóp. Một mặt phẳn (P) đi qua J và BC. Gọi \(\varphi \) là góc giữa (P) và (ABCD). Tính \(\tan \varphi \) biết các đường chéo của thiết diện của hình chóp cắt bởi (P) lần lượt cắt và vuông góc với SA, SD.
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Gọi R, r lần lượt là bán kính mặt cầu tâm J, bán kính mặt cầu tâm I nội tiếp hình chóp tứ giác đều.
Đặt AB= a, SO = h, với O là tâm hình vuông ABCD.
Vì (I) và (J) tiếp xúc ngoài nên \(OA = 2\sqrt {Rr} \) \( \Leftrightarrow {a^2} = 8Rr\).
Gọi \(JC \cap SA = E,\,\,JC \cap SO = H\).
Theo bài ra ta có \(CE \bot SA\) \( \Rightarrow \Delta HCO \sim \Delta ASO\) \( \Rightarrow \dfrac{{OH}}{{OA}} = \dfrac{{OC}}{{OS}} \Rightarrow OH = \dfrac{{O{A^2}}}{h} = \dfrac{{4Rr}}{h}\).
Lại có: \(OH = \dfrac{{JA}}{2} = \dfrac{R}{2}\) (đường trung bình của tam giác) \( \Rightarrow \dfrac{{4Rr}}{h} = \dfrac{R}{2} \Leftrightarrow h = 8r\).
Gọi N là trung điểm của AB.
Áp dụng tính chất đường phân giác ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{2r}}{a} = \dfrac{{OI}}{{ON}} = \dfrac{{SI}}{{SN}} = \dfrac{{SO}}{{ON + SN}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2r}}{a} = \dfrac{h}{{\dfrac{a}{2} + \sqrt {{h^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{2h}}{{a + \sqrt {4{h^2} + {a^2}} }}\end{array}\)
Thay \(r = \dfrac{h}{8}\) ta có \(7a = \sqrt {4{h^2} + {a^2}} \Leftrightarrow 12{a^2} = {h^2} \Leftrightarrow \dfrac{a}{h} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}\)
Gọi M là trung điểm BC, dễ thấy \(BC \bot \left( {OHM} \right)\) nên \(\varphi = \left( {\left( P \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \angle OMH\), suy ra
\(\tan \varphi = \dfrac{{OH}}{{OM}} = \dfrac{{4Rr}}{{h.\dfrac{a}{2}}} = \dfrac{{8Rr}}{{ah}} = \dfrac{{{a^2}}}{{ah}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}\)
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
