Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}

Câu hỏi số 547202:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\dfrac{{f\left( x \right) - 2}}{{x - 1}}} \right) = 1\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\dfrac{{\sqrt {f\left( x \right) + 7} + {f^2}\left( x \right) - 7}}{{x - 1}}} \right)\).

A. \(\dfrac{{26}}{5}\)

B. \(\dfrac{{25}}{6}\)

C. \(\dfrac{6}{{25}}\)

D. \(\dfrac{5}{{26}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:547202

Phương pháp giải

Đặt \(g\left( x \right) = \dfrac{{f\left( x \right) - 2}}{{x - 1}}\), tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\).

Thêm bớt để đưa về dạng 0/0.

Giải chi tiết

Đặt \(g\left( x \right) = \dfrac{{f\left( x \right) - 2}}{{x - 1}}\) \( \Rightarrow f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)g\left( x \right) + 2\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {\left( {x - 1} \right)g\left( x \right) + 2} \right] = 2\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\dfrac{{\sqrt {f\left( x \right) + 7} + {f^2}\left( x \right) - 7}}{{x - 1}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\dfrac{{\sqrt {f\left( x \right) + 7} - 3 + {f^2}\left( x \right) - 4}}{{x - 1}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\dfrac{{\sqrt {f\left( x \right) + 7} - 3}}{{x - 1}} + \dfrac{{{f^2}\left( x \right) - 4}}{{x - 1}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\dfrac{{f\left( x \right) + 7 - 9}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {f\left( x \right) + 7} + 3} \right)}} + \dfrac{{\left[ {f\left( x \right) - 2} \right]\left[ {f\left( x \right) + 2} \right]}}{{x - 1}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\dfrac{{f\left( x \right) - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {f\left( x \right) + 7} + 3} \right)}} + \dfrac{{\left[ {f\left( x \right) - 2} \right]\left[ {f\left( x \right) + 2} \right]}}{{x - 1}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\dfrac{{f\left( x \right) - 2}}{{x - 1}}.\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {f\left( x \right) + 7} + 3}} + f\left( x \right) + 2} \right)} \right)\\ = 1.\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {2 + 7} + 3}} + 2 + 2} \right)\\ = 1.\left( {\dfrac{1}{6} + 4} \right) = \dfrac{{25}}{6}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.