Giả sử \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right) = \dfrac{{\ln \left( {x + 3}

Câu hỏi số 547929:

Vận dụng

Giả sử \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right) = \dfrac{{\ln \left( {x + 3} \right)}}{{{x^2}}}\) sao cho \(F\left( { - 2} \right) + F\left( 1 \right) = 0\). Giá trị của \(F\left( { - 1} \right) + F\left( 3 \right)\) bằng

A. \(\dfrac{7}{3}\ln 2 - \dfrac{1}{3}\ln 3\).

B. \(\dfrac{1}{2}\ln 2 - 3\ln 3\).

C. \(\dfrac{1}{3}\ln 3 - 5\ln 5\).

D. \(\dfrac{3}{5}\ln 3 - \dfrac{1}{5}\ln 5\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:547929

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần \(\int {udv = uv - \int {vdu} } \) và \(F\left( { - 2} \right) + F\left( 1 \right) = 0\) tìm được \(F\left( x \right)\).

Giải chi tiết

ĐK: \(x > - 3\).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {x + 3} \right) = u\\\dfrac{1}{{{x^2}}}dx = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x + 3}}dx = du\\ - \dfrac{1}{x} = v\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \int {\dfrac{{\ln \left( {x + 3} \right)}}{{{x^2}}} = \dfrac{{ - \ln \left( {x + 3} \right)}}{x} + \int {\dfrac{1}{{x\left( {x + 3} \right)}}dx} } \)

Ta có: \(\int {\dfrac{1}{{x\left( {x + 3} \right)}}dx = \dfrac{1}{3}\int {\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right)dx = \dfrac{1}{3}\left[ {\ln \left| x \right| - \ln \left( {x + 3} \right)} \right] + C = \dfrac{1}{3}\ln \dfrac{{\left| x \right|}}{{x + 3}} + C} } \).

Khi đó ta có \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - \ln \left( {x + 3} \right)}}{x} + \dfrac{1}{3}\ln \dfrac{x}{{x + 3}} + {C_1}\,\,khi\,\,x > 0\\\dfrac{{ - \ln \left( {x + 3} \right)}}{x} + \dfrac{1}{3}\ln \dfrac{{ - x}}{{x + 3}} + {C_2}\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}F\left( { - 2} \right) = \dfrac{{ - \ln 1}}{{ - 2}} + \dfrac{1}{3}\ln 2 + {C_2} = \dfrac{1}{3}\ln 2 + {C_2}\\F\left( 1 \right) = - \ln 4 + \dfrac{1}{3}\ln \dfrac{1}{4} + {C_1} = - \dfrac{8}{3}\ln 2 + {C_1}\end{array} \right.\)

Mà \(F\left( { - 2} \right) + F\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow - \dfrac{7}{3}\ln 2 + {C_1} + {C_2} = 0\) \( \Leftrightarrow {C_1} + {C_2} = \dfrac{7}{3}\ln 2\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}F\left( { - 1} \right) = \ln 2 + \dfrac{1}{3}\ln \dfrac{1}{2} + {C_2} = \dfrac{2}{3}\ln 2 + {C_2}\\F\left( 3 \right) = - \dfrac{{\ln 6}}{3} + \dfrac{1}{3}\ln \dfrac{1}{2} + {C_1} = - \dfrac{1}{3}\ln 6 - \dfrac{1}{3}\ln 2 + {C_1}\end{array} \right.\)

Suy ra \(F\left( { - 1} \right) + F\left( 3 \right) = \dfrac{1}{3}\ln 2 - \dfrac{1}{3}\ln 6 + {C_1} + {C_2}\)

\( = \dfrac{1}{3}\ln 2 - \dfrac{1}{3}\ln 6 + \dfrac{7}{3}\ln 2\) \( = \dfrac{8}{3}\ln 2 - \dfrac{1}{3}\ln 2 - \dfrac{1}{3}\ln 3 = \dfrac{7}{3}\ln 2 - \dfrac{1}{3}\ln 3\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.