Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Hàm số \(y = f'\left( x

Câu hỏi số 547931:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình sau.

Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - \dfrac{1}{2}} \right) - 2\ln x\) đồng biến trên khoảng nào?

A. 7.

B. -4.

C. 1.

D. -1.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:547931

Phương pháp giải

- Tìm ĐKXĐ

- Giải bất phương trình \(g'\left( x \right) > 0\).

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)

Ta có: \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - \dfrac{1}{2}} \right) - 2\ln x\) \( \Rightarrow g'\left( x \right) = 2xf'\left( {{x^2} - \dfrac{1}{2}} \right) - \dfrac{2}{x}\)

\(Cho\,\,g'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow xf'\left( {{x^2} - \dfrac{1}{2}} \right) - \dfrac{1}{x} > 0\) \( \Leftrightarrow f'\left( {{x^2} - \dfrac{1}{2}} \right) > \dfrac{1}{{{x^2}}}\,\,\,\left( 1 \right)\).

Đặt \(t = {x^2} - \dfrac{1}{2}\,\,\,\left( {t > - \dfrac{1}{2}} \right)\). Khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f'\left( t \right) > \dfrac{1}{{t + \dfrac{1}{2}}}\,\,\left( * \right)\).

Dựa vào đồ thị ta thấy \((*) \Leftrightarrow t \in \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{3}{2}; + \infty } \right)\)

Xét \(t \in \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right) \Rightarrow {x^2} - \dfrac{1}{2} \in \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right) \Rightarrow x \in \left( { - 1; - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }};1} \right)\)

Xét \(t \in \left( {\dfrac{3}{2}; + \infty } \right) \Rightarrow {x^2} - \dfrac{1}{2} \in \left( {\dfrac{3}{2}; + \infty } \right) \Rightarrow x \in \left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right) \cup \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\)

Như vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1; - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\), \(\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }};1} \right)\), \(\left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right)\), \(\left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.