Biết rằng với tất cả giá trị của tham số \(m \in \left[ {a;b} \right)\) thì phương trình\(\left(

Câu hỏi số 547933:

Vận dụng

Biết rằng với tất cả giá trị của tham số \(m \in \left[ {a;b} \right)\) thì phương trình\(\left( {m - 2} \right){.3^{2{x^2} + 2x + \frac{5}{2}}} + 2\left( {m + 1} \right){.3^{{x^2} + x + \frac{5}{4}}} + 2m - 6 = 0\) có nghiệm. Tính giá trị \(S = 7b - 17a\).

A. \(S = - 20\).

B. \(S = 43\).

C. \(S = - 4\).

D. \(S = 60\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:547933

Phương pháp giải

- Đặt \({3^{{x^2} + x + \frac{5}{4}}} = t \ge 3\).

- Cô lập tham số \(m\), tìm được khoảng giá trị của tham số \(m \in \left[ {a;b} \right)\).

Giải chi tiết

Đặt \({3^{{x^2} + x + \frac{5}{4}}} = t\)

Ta có: \({x^2} + x + \dfrac{5}{4} = {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + 1 \ge 1 \Rightarrow {3^{{x^2} + x + \frac{5}{4}}} \ge 3\).

\( \Rightarrow t \ge 3\)

Khi đó phương trình trở thành \(\left( {m - 2} \right){t^2} + 2\left( {m + 1} \right)t + 2m - 6 = 0\,\,\left( 1 \right)\)

\( \Leftrightarrow m\left( {{t^2} + 2t + 2} \right) - 2{t^2} + 2t - 6 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{{2{t^2} - 2t + 6}}{{{t^2} + 2t + 2}}\)

Xét \(f\left( t \right) = \dfrac{{2{t^2} - 2t + 6}}{{{t^2} + 2t + 2}},\,\,t \ge 3\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = \dfrac{{\left( {4t - 2} \right)\left( {{t^2} + 2t + 2} \right) - \left( {2t + 2} \right)\left( {2{t^2} - 2t + 6} \right)}}{{{{\left( {{t^2} + 2t + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{6{t^2} - 4t - 16}}{{{{\left( {{t^2} + 2t + 2} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow f'\left( t \right) > 0,\,\,\forall t \ge 3\end{array}\)

Do đó hàm số đồng biến trên \(\left[ {3; + \infty } \right)\).

Như vậy \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( t \right) \ge f\left( 3 \right) = \dfrac{{18}}{{17}}\\f\left( t \right) < \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } f\left( t \right) = 2\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{18}}{{17}} \le f\left( t \right) < 2,\,\,\forall t \in \left[ {3; + \infty } \right)\).

Khi đó: \(a = \dfrac{{18}}{{17}},\,\,b = 2\).

Vậy \(S = 7b - 17a = 7.2 - 17.\dfrac{{18}}{{17}} = - 4\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.