Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.MNPQ\).a) Chứng minh rằng: \(AM \bot MP\)b) Chứng minh rằng các đường

Câu hỏi số 548396:

Vận dụng

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.MNPQ\).

a) Chứng minh rằng: \(AM \bot MP\)

b) Chứng minh rằng các đường chéo \(AP,BQ,CM,ND\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

c) Cho \(AP = 45cm,AM = 13cm,MQ = 16cm.\) Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp chữ nhật.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:548396

Phương pháp giải

a) \(AM \bot \left( {MNPQ} \right) \Rightarrow AM \bot MP\)

b) \(ACBM;BDQN;\;BCQM\) là hình bình hành

\(O\) là tâm của các hình bình hành đó.

c) \({S_{xq}} = 2\left( {a + b} \right).c\)

\(\begin{array}{l}{S_{tp}} = {S_{xq}} + 2.{S_{day}} = 2ab + 2bc + 2ca\\V = a.b.c\end{array}\)

Giải chi tiết

a) Vì \(ABCD.MNPQ\) là hình hộp chữ nhật \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AM \bot MN\\AM \bot MQ\end{array} \right.\) (định nghĩa hình hộp chữ nhật)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot MN\\AM \bot MQ\\MN,MQ \subset \left( {MNPQ} \right)\\MN \cap MQ = \left\{ M \right\}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow AM \bot \left( {MNPQ} \right)\)

Mà \(MP \subset \left( {MNPQ} \right)\)

\( \Rightarrow AM \bot MP\)

b) Vì \(ABCD.MNPQ\) là hình hộp chữ nhật \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AM//PC\\AM = PC\end{array} \right.\) (định nghĩa hình hộp chữ nhật

Xét tứ giác \(ACPM\) có:

\(\left. \begin{array}{l}AM//PC\\AM = PC\end{array} \right\} \Rightarrow ACPM\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AP\) và \(CM\)\( \Rightarrow O\)là trung điểm của \(AP,CM\) (tính chất hình bình hành)

Chứng minh tương tự ta được \(BDQN;\;BCQM\) cũng là hình bình hành

\( \Rightarrow BQ,DN,CM\) cắt nhau tại \(O\) – trung điểm của mỗi đường.

Vậy \(AP,BQ,CM,DN\) đồng quy tại \(O\) - trung điểm của mỗi đường.

c) Áp dụng định lý Py – ta – go vào \(\Delta AMP\) vuông tại \(M\):

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,A{P^2} = M{P^2} + M{A^2}\\ \Leftrightarrow M{P^2} = A{P^2} - M{A^2}\\ \Leftrightarrow M{P^2} = {45^2} - {13^2}\\ \Leftrightarrow M{P^2} = 1856\\ \Rightarrow MP = 8\sqrt {29} \left( {cm} \right)\end{array}\)

Vì \(ABCD.MNPQ\) là hình hộp chữ nhật \( \Rightarrow MNPQ\) là hình chữ nhật (định nghĩa hình hộp chữ nhật)

\( \Rightarrow NP = MQ = 16cm\)(tính chất hình chữ nhật)

Áp dụng định lý Py – ta – go vào \(\Delta MNP\) vuông tại \(N\):

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,M{P^2} = M{N^2} + N{P^2}\\ \Leftrightarrow M{N^2} = M{P^2} - N{P^2}\\ \Leftrightarrow M{N^2} = \left( {8{{\sqrt {29} }^2}} \right) - {16^2}\\ \Leftrightarrow M{N^2} = 1600\\ \Rightarrow MN = 40\;cm\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{S_{xq}} = 2\left( {{S_{ABNM}} + {S_{ADQM}}} \right) = 2\left( {AM.MN + AM.MQ} \right) = 2\left( {13.40 + 13.16} \right) = 1456\;c{m^2}\\{S_{tp}} = {S_{xq}} + 2.{S_{MNPQ}} = 1456 + 2.MN.MQ = 1456 + 2.40.16 = 2736\;c{m^2}\\{V_{ABCD.MNPQ}} = AM.MQ.MN = 13.16.40 = 8320\;c{m^3}\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link