Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(ABCD\) là hình vuông. Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\)

Câu hỏi số 548395:

Vận dụng

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(ABCD\) là hình vuông. Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), \(O'\) là giao điểm của \(A'C'\) và \(B'D'\). Chứng minh rằng:

a)\(BDD'B'\) là hình chữ nhật.

b) \(OO' \bot \left( {ABCD} \right)\).

c) \(\left( {ACC'A'} \right) \bot \left( {BDD'B'} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:548395

Phương pháp giải

+ Đường thẳng \(a\) được gọi là vuông góc với \(\left( P \right)\) nếu \(a\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong \(\left( P \right)\)

+ Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu trong mặt phẳng này tồn tại một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

a) Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật.

\(\left. \begin{array}{l}BB' \bot BD\\DD' \bot B'D'\\BB' \bot B'D'\end{array} \right\} \Rightarrow BDD'B'\)là hình chữ nhật.

b) \(\left. \begin{array}{l}BB'//OO{\rm{'}}\\BB' \bot \left( {ABCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow OO{\rm{'}} \bot \left( {ABCD} \right)\)

c) \(\left. \begin{array}{l}BD \bot OO'\\BD \bot AC\\AC \cap OO' = \left\{ O \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {ACCA'} \right)\)

Mà \(BD \subset \left( {BDD'B'} \right) \Rightarrow \left( {BDD'B'} \right) \bot \left( {ACC'A'} \right)\)

Giải chi tiết

a) Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BB' \bot BA\\BB' \bot BC\end{array} \right.\) (định nghĩa hình hộp chữ nhật)

Mà \(\left. \begin{array}{l}BC,BA \subset \left( {ABCD} \right)\\BA \cap BC = \left\{ B \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow BB' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow BB' \bot BD\)

Chứng minh tương tự ta có \(BB' \bot B'D'\)

Ta có \(\left. \begin{array}{l}BB'//AA{\rm{'}}//DD'\\BB' \bot B'D'\end{array} \right\} \Rightarrow DD' \bot B'D'\)

\( \Rightarrow BDD'B'\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

b) Vì\(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BD//B'D'\\BD = B'D'\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BO//B'O'\\BO = B'O'\end{array} \right.\)

Ta có \(BB' \bot BD \Rightarrow BB' \bot BO \Rightarrow BOO'B\)là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)\( \Rightarrow BB'//OO{\rm{'}}\)

Mà \(BB' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow OO{\rm{'}} \bot \left( {ABCD} \right)\)

c) Vì \(OO' \bot \left( {ABCD} \right)\) mà \(BD \subset \left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow OO' \bot BD\)

Vì \(ABCD\) là hình vuông \(\left( {gt} \right)\)\( \Rightarrow BD \bot AC\)

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}BD \bot OO'\\BD \bot AC\\AC \cap OO' = \left\{ O \right\}\\OO{\rm{'}}{\rm{,}}AC \subset \left( {ACC'A'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {ACCA'} \right)\)

Mà \(BD \subset \left( {BDD'B'} \right) \Rightarrow \left( {BDD'B'} \right) \bot \left( {ACC'A'} \right)\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link