Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.EFGH\) như hình vẽ.a) Nêu vị trí tương đối của \(AC\) với

Câu hỏi số 548397:

Vận dụng

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.EFGH\) như hình vẽ.

a) Nêu vị trí tương đối của \(AC\) với \(DH\);\(BG\) với \(EH\).

b) Chứng minh \(\Delta AEG\) vuông tại \(E\). Từ đó chứng minh \(AG = \sqrt {A{E^2}{\rm{ + E}}{{\rm{F}}^2} + E{H^2}} \) (\(AG\) được gọi là đường chéo hình hộp chữ nhật).

c) Chứng minh \(BO = \sqrt {B{F^2} + \dfrac{1}{4}\left( {{\rm{E}}{{\rm{F}}^2} + F{G^2}} \right)} \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:548397

Phương pháp giải

+ Hai đường thẳng chéo nhau nếu chúng không cùng nằm trên một mặt phẳng nào đó.

+ Đường thẳng \(a\) được gọi là vuông góc với \(\left( P \right)\) nếu \(a\) vuông góc với hai đương thẳng cắt nhau trong\(\left( P \right)\).

a) \(DH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow DH \bot AC\)

b) \(AE \bot \left( {EFGH} \right)\)\( \Rightarrow AE \bot EG \Rightarrow \Delta AEG\) vuông tại \(E\). Sau đó áp dụng định lý Py – ta – go để chứng minh

c) \(BF \bot \left( {{\rm{EF}}GH} \right)\)\( \Rightarrow BF \bot FO \Rightarrow \Delta BFO\)vuông tại \(F\). Áp dụng định lý Py – ta – go để chứng minh.

Giải chi tiết

a) Vì \(ABCD.EFGH\) là hình hộp chữ nhật \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}DH \bot AD\\DH \bot DC\end{array} \right.\)

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}DH \bot AD\\DH \bot DC\\AD,DC \subset \left( {ABCD} \right)\\AD \cap DC = \left\{ D \right\}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow DH \bot \left( {ABCD} \right)\)

Mà \(AC \subset \left( {ABCD} \right)\)

b) Vì \(ABCD.EFGH\) là hình hộp chữ nhật \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AE \bot EF\\AE \bot EH\end{array} \right.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AE \bot EF\\AE \bot EH\\EF,EH \subset \left( {EFGH} \right)\\EF \cap EH = \left\{ E \right\}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow AE \bot \left( {EFGH} \right)\)

Mà \(EG \subset \left( {EFGH} \right)\)

\( \Rightarrow AE \bot EG \Rightarrow \Delta AEG\) vuông tại \(E\).

Vì \(EFGH\) là hình chữ nhật (\(ABCD.EFGH\) là hình hộp chữ nhật)\( \Rightarrow EF \bot FG\) (tính chất hình chữ nhật)

\( \Rightarrow \Delta EFG\)vuông tại \(F\)

Áp dụng định lí Py – ta – go vào \(\Delta AEG\) vuông tại \(E\)có: \(A{G^2} = A{E^2} + E{G^2} \Rightarrow AG = \sqrt {A{E^2} + E{G^2}} (1)\)

Áp dụng định lí Py – ta – go vào \(\Delta EFG\) vuông tại \(F\)có: \(E{G^2} = {\rm{E}}{{\rm{F}}^2} + F{G^2} = {\rm{E}}{{\rm{F}}^2} + E{H^2}(FG = EH)\)

Thay \(E{G^2}\) vào (1), ta có: \(AG = \sqrt {A{E^2} + {\rm{E}}{{\rm{F}}^2} + E{H^2}} \) (đpcm)

c) Vì \(ABCD.EFGH\) là hình hộp chữ nhật \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BF \bot FG\\BF \bot EF\end{array} \right.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BF \bot FG\\BF \bot EF\\EF,FG \subset \left( {EFGH} \right)\\EF \cap FG = \left\{ F \right\}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow BF \bot \left( {EFGH} \right)\)

Mà \(FO \subset \left( {EFGH} \right)\)

\( \Rightarrow BF \bot FO \Rightarrow \Delta BFO\) vuông tại \(F\).

Áp dụng định lí Py – ta – go vào \(\Delta BFO\) vuông tại \(F\)có: \(B{O^2} = B{F^2} + F{O^2} \Rightarrow BO = \sqrt {B{F^2} + F{O^2}} (2)\)

Vì \(EFGH\) là hình chữ nhật (\(ABCD.EFGH\) là hình hộp chữ nhật)\( \Rightarrow FH = EG\) (tính chất hình chữ nhật)

Mà \(FO = \dfrac{1}{2}FH\)(tính chất hình chữ nhật)

\( \Rightarrow FO = \dfrac{1}{2}EG \Rightarrow F{O^2} = \dfrac{1}{4}E{G^2}\)

Mà \(E{G^2} = E{F^2} + E{H^2}\) (cmt)

\( \Rightarrow F{O^2} = \dfrac{1}{4}\left( {E{F^2} + E{H^2}} \right)\)

Thay \(F{O^2}\) vào (2) ta được \(BO = \sqrt {B{F^2} + \dfrac{1}{4}\left( {E{F^2} + E{H^2}} \right)} \) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link