Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = \dfrac{2}{3}\) và \(\left( {\sqrt x +

Câu hỏi số 548407:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = \dfrac{2}{3}\) và \(\left( {\sqrt x + \sqrt {x + 1} } \right)f'\left( x \right) = 1,\,\forall x \ge - 1\). Biết rằng \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{{a\sqrt 2 + b}}{{15}},\,a,b \in {\bf{Z}}\). Tính \(T = a + b\)

A. \( - 8\)

B. \( - 24\)

C. \(24\)

D. \(8\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:548407

Phương pháp giải

Biến đổi \(\left( {\sqrt x + \sqrt {x + 1} } \right)f'\left( x \right) = 1\)\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt x }}\)

Từ đây lấy nguyên hàm hai vế ta tìm được \(f\left( x \right)\).

Từ \(f\left( 0 \right) = \dfrac{2}{3}\), ta tính được \(C\) và tìm được hàm \(f\left( x \right)\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\left( {\sqrt x + \sqrt {x + 1} } \right)f'\left( x \right) = 1,\,\forall x \ge - 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt x }}\\ \Rightarrow \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt x }}dx} \\ \Rightarrow \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {\sqrt {x + 1} - \sqrt x } \right)dx} \\ \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{2}{3}\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^3}} - \dfrac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + C\end{array}\)

Mặt khác: \(f\left( 0 \right) = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{3} + C \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{2}{3}\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^3}} - \dfrac{2}{3}\sqrt {{x^3}} \)

Do đó: \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {\dfrac{2}{3}\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^3}} - \dfrac{2}{3}\sqrt {{x^3}} } \right)dx} \)\( = \left. {\left( {\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{5}\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^5}} - \dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{5}\sqrt {{x^5}} } \right)} \right|_0^1 = \dfrac{{16\sqrt 2 - 8}}{{15}}\)

\( \Rightarrow a = 16;\,b = - 8\, \Rightarrow T = a + b = 8\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.