Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). Biết \(f\left( 3

Câu hỏi số 548408:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). Biết \(f\left( 3 \right) = 3\) và\(xf'\left( {2x + 1} \right) - f\left( {2x + 1} \right) = {x^3},\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\). Giá trị của \(\int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} \) bằng

A. \(\dfrac{{914}}{3}\)

B. \(\dfrac{{59}}{3}\)

C. \(\dfrac{{45}}{4}\)

D. \(88\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:548408

Phương pháp giải

Biến đổi \(xf'\left( {2x + 1} \right) - f\left( {2x + 1} \right) = {x^3} \Leftrightarrow \dfrac{{2{x^2}f'\left( {2x + 1} \right) - 2xf\left( {2x + 1} \right)}}{{{x^4}}} = 2\)

Từ \(f\left( 3 \right) = 3\), ta tìm được \(C\).

Giải chi tiết

Ta có:

Ta có: \(xf'\left( {2x + 1} \right) - f\left( {2x + 1} \right) = {x^3} \Leftrightarrow \dfrac{{2{x^2}f'\left( {2x + 1} \right) - 2xf\left( {2x + 1} \right)}}{{{x^4}}} = 2,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Cho \(x = 1\) từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow \dfrac{{f\left( 3 \right)}}{{{1^2}}} = 2.1 + C \Leftrightarrow \dfrac{3}{{{1^2}}} = 2.1 + C \Rightarrow C = 1 \Rightarrow f\left( {2x + 1} \right) = {x^2}\left( {2x + 1} \right) = 2{x^3} + {x^2}\)

\( \Rightarrow \int\limits_1^2 {f\left( {2x + 1} \right)dx} = \int\limits_1^2 {\left( {2{x^3} + {x^2}} \right)dx} = \left. {\left( {2\dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_1^2 = \dfrac{{59}}{6}\)

\( \Rightarrow \int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} = 2\int\limits_1^2 {f\left( {2x + 1} \right)dx} = \dfrac{{59}}{3}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.