Cho hình lăng trụ đứng tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân tại \(A\), với \(AB =

Câu hỏi số 548417:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ đứng tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân tại \(A\), với \(AB = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2},BC = a\). Góc giữa hai đường thẳng \(AB'\) và \(BC\) bằng \(60^\circ \).

a) Chứng minh \(\Delta AB'C'\) đều.

b) Chứng minh các mặt bên \(ABB'A';\;ACC'A'\) là hình vuông

c) Tính diện tích xung quanh và thể tích lăng trụ theo \(a\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:548417

Phương pháp giải

a) + Cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) chéo nhau. Đường thẳng \(a'\) song song với đường thẳng \(b\). Khi đó góc giữa \(a\) và \(b\) là góc nhọn giữa \(a'\) và \(b\).

+ Tam giác cân có một góc bằng \(60^\circ \) là tam giác đều.

\(\Delta ABB' = \Delta ACC'(c.g.c) \Rightarrow AB' = AC' \Rightarrow \Delta AB'C'\) là tam giác cân tại \(A\)

\(\angle \left( {AB',BC} \right) = \angle \left( {AB',B'C'} \right) = \angle AB'C' = 60^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta AB'C'\) đều.

b) Hình chữ nhật có hai cạnh bên bằng nhau là hình vuông.

\(ABB'A'\) là hình chữ nhật

Mà \(BB' = AA' = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Rightarrow ABB'A'\) là hình vuông.

c) Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng tổng diện tích các mặt bên hoặc bằng chu vi đáy nhân với chiều cao: \({S_{xq}} = 2p.h\) với \(p\) là nửa chu vi đáy, \(h\) là chiều cao.

Thể tích của hình lăng trụ có chiều cao \(h\) và diện tích đáy là \(S\) được tính theo công thức: \(V = S.h\)

Giải chi tiết

a) Vì \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ đứng tam giác \( \Rightarrow BB'C'C\) là hình chữ nhật

\( \Rightarrow BC//B'C'\) (tính chất hình chữ nhật)

Ta có \(AB',BC\) không cùng thuộc mặt phẳng nào nên \(AB',BC\) chéo nhau.

\( \Rightarrow \angle \left( {AB',BC} \right) = \angle \left( {AB',B'C'} \right) = \angle AB'C' = 60^\circ \)

Vì \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng (gt)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BB' \bot \left( {ABC} \right)\\CC' \bot \left( {ABC} \right)\end{array} \right.\)

Ta có : + \(\left. \begin{array}{l}BB' \bot \left( {ABC} \right)(cmt)\\AB \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BB' \bot AB \Rightarrow \Delta BB'A\) vuông tại \(B\).

+ \(\left. \begin{array}{l}CC' \bot \left( {ABC} \right)\\AC \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow CC' \bot AC \Rightarrow \Delta ACC'\) vuông tại \(C\).

Chứng minh được \(\Delta BB'A = \Delta ACC'(c.g.c) \Rightarrow AB' = AC'\) (2 cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow \Delta AB'C'\) cân tại \(A\).

Mà \(\angle AB'C = 60^\circ \)(cmt)

\( \Rightarrow \Delta AB'C'\) là tam giác đều cạnh \(a\).

b) Vì \(\Delta AB'C'\) đều nên \(AB' = AC' = B'C' = BC = a\) (tính chất tam giác đều)

Áp dụng định lí Py – ta – go vào \(\Delta ABB'\) vuông tại \(B\) (cmt), ta có :

\(\begin{array}{l}AB{'^2} = BB{'^2} + A{B^2}\\ \Rightarrow BB{'^2} = AB{'^2} - A{B^2}\\ \Leftrightarrow BB{'^2} = {a^2} - {\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = {a^2} - \dfrac{{2{a^2}}}{4} = \dfrac{{2{a^2}}}{4}\\ \Rightarrow BB' = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)

Vì \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ đứng tam giác \( \Rightarrow ABB'A'\) là hình chữ nhật.

Mà \(BB' = AA' = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Rightarrow ABB'A'\) là hình vuông (dấu hiệu nhận biết)

Chứng minh tương tự ta có :\(ACC'A'\) là hình vuông.

c) \({S_{xq}} = \left( {2AB + BC} \right).BB' = \left( {2.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} + a} \right).\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} = \left( {a\sqrt 2 + a} \right).\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{{a^2}\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}{2}\)

Kẻ đường cao \(AH\) của \(\Delta ABC\left( {H \in BC} \right)\).

Vì \(\Delta ABC\) là tam giác cân tại \(A\)(gt)\( \Rightarrow AH\) đồng thời là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) (tính chất 3 đường trong tam giác cân).

\( \Rightarrow BH = CH = \dfrac{a}{2}\)

Áp dụng định lí Py - ta - go vào \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\\ \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}\\ \Leftrightarrow A{H^2} = {\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \dfrac{{2{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{{a^2}}}{4}\\ \Rightarrow AH = \dfrac{a}{2}\end{array}\)

\({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.BB' = \dfrac{1}{2}.BC.AH.BB{\rm{' = }}\dfrac{1}{2}a.\dfrac{a}{2}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{8}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link