Trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) cho tam giác đều \(ABC\), cạnh \(12cm\). Gọi \(O\) là tâm đường

Câu hỏi số 548648:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) cho tam giác đều \(ABC\), cạnh \(12cm\). Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\), từ \(O\) kẻ đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Lấy điểm \(S \in d\) sao cho \(SA = 8cm\).

a) Chứng minh rằng \(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều.

b) Tính thể tích, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình chóp \(S.ABC\).

c) Trên cạnh \(SA,SB,SC\) lần lượt lấy các điểm \(M,N,P\) lần lượt lấy các điểm \(M,N,P\) sao cho \(SM = \dfrac{1}{3}SA\); \(SN = \dfrac{1}{3}SB;SP = \dfrac{1}{3}SC\). Chứng minh \(MNP.ABC\) là hình chóp cụt đều và tính tỉ số \(\dfrac{{{V_{MNP.ABC}}}}{{{V_{s.ABCD}}}}\)?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:548648

Phương pháp giải

a) + Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao của ba đường trung trực.

+ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều, các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh.

\(SA = SB = SC\) và \(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow \) đpcm.

b) Đoạn thẳng nối từ đỉnh của hình chóp tới trung điểm của cạnh đáy gọi là trung đoạn của hình chóp.

\(\begin{array}{l}{S_{xq}} = p.d;\quad {S_{tp}} = {S_d} + {S_{xq}}\\V = \dfrac{1}{3}{S_d}.h\end{array}\)

c) \(\dfrac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \dfrac{1}{9} \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}.{S_{\Delta MNP}}.SH}}{{\dfrac{1}{3}.S{ _{\Delta ABC}}.SO}} = \dfrac{1}{{27}}\)

\(\dfrac{{{V_{MNP.ABC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{{V_{S.ABC}} - {V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = 1 - \dfrac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = 1 - \dfrac{1}{{27}} = \dfrac{{26}}{{27}}\)

Giải chi tiết

a) Vì \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) đều (gt)

\( \Rightarrow \) O là giao của 3 đường trung trực \(\Delta ABC\) và là trọng tâm của \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow OA = OB = OC\)

Ta có \(\Delta SOA = \Delta SOB = \Delta SOC(c.g.c) \Rightarrow SA = SB = SC = 8cm\)

Mà \(\Delta ABC\) là tam giác đều (gt) \( \Rightarrow S.ABC\) là hình chóp tam giác đều.

b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\left( {I \in BC} \right) \Rightarrow IB = IC = \dfrac{a}{2}\)

Vì \(SB = SC(cmt) \Rightarrow \Delta SBC\) cân tại \(S \Rightarrow SI \bot BC \Rightarrow \Delta SIB\) vuông tại \(I\)

Áp dụng định lí Py - ta - go vào \(\Delta SIB\) vuông tại \(I\)ta có:

\(S{B^2} = S{I^2} + I{B^2} \Rightarrow S{I^2} = S{B^2} - I{B^2} \Rightarrow SI = \sqrt {28} cm\)

\( \Rightarrow {S_{xq}} = p.d = 18\sqrt {28} c{m^2}\)

Vì \(\Delta ABC\)đều cạnh \(12cm\) mà \(IB = IC \Rightarrow AI\)là đường cao của \(\Delta ABC \Rightarrow AI = 6\sqrt 3 cm\)

Vì \(O\) là trọng tâm của \(\Delta ABC \Rightarrow OI = \dfrac{1}{3}AI = 2\sqrt 3 cm\)

Vì \(SO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SO \bot OI \Rightarrow \Delta SOI\) vuông tại \(O\)

Áp dụng định lí Py - ta - go vào \(\Delta SOI\) vuông tại \(O\)có:

\(S{I^2} = S{O^2} + O{I^2} \Rightarrow S{O^2} = S{I^2} - O{I^2} \Rightarrow SO = 4cm\)

\({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.{S_{ABC}}.SO = 48\sqrt 3 c{m^3}\)

c) Ta có \(\dfrac{{SM}}{{SA}} = \dfrac{{SN}}{{SB}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow MN//AB\) (định lí Talet đảo). Chứng minh tương tự ta có\(NP//BC\)

\( \Rightarrow \left( {MNP} \right)//\left( {ABC} \right) \Rightarrow MNP.ABC\) là hình chóp cụt đều.

Ta có: \(\Delta MNP \sim \Delta ABC(c.g.c)\) theo tỉ số đồng dạng \(k = \dfrac{1}{3}\)

Lấy \(H \in SO \Rightarrow SH\) là đường cao của hình chóp \(S.MNP \Rightarrow \dfrac{{SH}}{{SO}} = \dfrac{1}{3}\)

Ta có: \(\dfrac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \dfrac{1}{9} \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}.{S_{\Delta MNP}}.SH}}{{\dfrac{1}{3}.S{ _{\Delta ABC}}.SO}} = \dfrac{1}{{27}}\)

\(\dfrac{{{V_{MNP.ABC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{{V_{S.ABC}} - {V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = 1 - \dfrac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = 1 - \dfrac{1}{{27}} = \dfrac{{26}}{{27}}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link