Cho hình chóp \(S.ABC\) có các mặt \(ABC,SAB,SBC,SCA\) là bốn tam giác đều cạnh \(a\), a) Chứng minh

Câu hỏi số 548647:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có các mặt \(ABC,SAB,SBC,SCA\) là bốn tam giác đều cạnh \(a\),

a) Chứng minh rằng hình chóp \(S.ABC\) là hình chóp đều.

b) Tính diện tích xung quanh và thể tích hình chóp \(S.ABC\) theo \(a\).

c) Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(SA,SB,SC\). Chứng minh rằng: \(MNP.ABC\) là hình chóp cụt đều và tính diện tích xung quanh, thể tích của hình chóp cụt đó.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:548647

Phương pháp giải

a) + Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều, các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh

\(SA = SB = SC = a\) và \(\left( {ABC} \right)\) cũng là tam giác đều (gt)\( \Rightarrow S.ABC\) là hình chóp đều.

b) \(\begin{array}{l}{S_{xq}} = p.d;\quad {S_{tp}} = {S_d} + {S_{xq}}\\V = \dfrac{1}{3}{S_d}.h\end{array}\)

c) + Cắt hình chóp đều bằng mặt phẳng song song với mặt phẳng đáy, phần hình chóp nằm giữa mặt phẳng cắt và mặt phẳng đáy gọi là hình chóp cụt đều.

\(\left. \begin{array}{l}MN//AB\\NP//BC\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {MNP} \right)//\left( {ABC} \right) \Rightarrow MNP.ABC\) là hình chóp cụt đều.

+\({S_{MNP.ABC}} = {S_{xq}} - S = \dfrac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{{16}}\) và \({V_{MNP.ABC}} = {V_{S.ABC}} - {V_{S.MNP}} = \dfrac{{7{a^3}\sqrt 2 }}{{96}}\)

Giải chi tiết

a) Vì hình chóp \(S.ABCD\) có các mặt phẳng \(\left( {SAB} \right),\left( {SAC} \right),\left( {SBC} \right)\) là các tam giác đều \( \Rightarrow SA = SB = SC = a\)

Mà \(\left( {ABC} \right)\) cũng là tam giác đều (gt)\( \Rightarrow S.ABC\) là hình chóp đều.

b) Gọi \(O\) là trọng tâm của \(\Delta ABC \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right)\)

\(I\) là trung điểm của \(BC\left( {I \in BC} \right) \Rightarrow SI\) là trung đoạn của \(S.ABC\)

Vì \(\Delta ABC\) đều mà \(AI\) là trung tuyến của \(\Delta ABC \Rightarrow AI \bot BC \Rightarrow AI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Ta có \(O\) là trọng tâm \(\Delta ABC \Rightarrow OI = \dfrac{1}{3}AI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

Vì \(\Delta SBC\) là tam giác đều cạnh \(a \Rightarrow SI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Áp dụng định lí Py - ta - go vào \(\Delta SOI\) vuông tại \(O\) ta có: \(S{I^2} = S{O^2} + O{I^2} \Rightarrow S{O^2} = S{I^2} - O{I^2} \Rightarrow SO = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

\(\begin{array}{l}{S_{xq}} = p.h = \dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}\\{S_{tp}} = {S_{\Delta ABC}} + {S_{xq}} = {a^2}\sqrt 3 \\V = \dfrac{1}{3}.{S_{\Delta ABC}}.SO = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\end{array}\)

c) Vì \(\dfrac{{SM}}{{SA}} = \dfrac{{SN}}{{SB}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow MN//AB\) (định lí Talet đảo)

Chứng minh tương tự ta có: \(NP//BC\)

\( \Rightarrow \left( {MNP} \right)//\left( {ABC} \right) \Rightarrow MNP.ABC\) là hình chóp cụt đều.

Ta có: theo tỉ số đồng dạng \(k = \dfrac{1}{2}\)

\( \Rightarrow S.MNP\) là hình chóp đều cạnh \(\dfrac{a}{2}\)

Gọi \({S_1}\) là diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều \(MNP.ABC\) ;

\(S\) là diện tích xung quanh của hình chóp \(S.MNP\)

Ta có:\(S = \dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{{16}} \Rightarrow {S_1} = {S_{xq}} - S = \dfrac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{{16}}\)

\({V_{S.MNP}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{96}} \Rightarrow {V_{MNP.ABC}} = {V_{S.ABC}} - {V_{S.MNP}} = \dfrac{{7{a^3}\sqrt 2 }}{{96}}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link