Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(AB = 3cm,BC = 5cm\). Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(D\) sao cho

Câu hỏi số 549166:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(AB = 3cm,BC = 5cm\). Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(BD = 3cm\). Đường thẳng vuông góc với \(BC\) tại \(D\), cắt cạnh \(AC\) tại \(M\), cắt tia \(BA\) tại \(N\).

a) Tính \(AC\) và so sánh các góc của tam giác \(ABC\).

b) Chứng minh \(MA = MD\) và tam giác \(MNC\) cân.

c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(CN\). Chứng minh ba điểm \(B,M,I\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:549166

Phương pháp giải

a) Áp dụng định lý Py – ta – go với tam giác vuông \(ABC \Rightarrow AC\)

Sử dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác, từ đó so sánh được các góc trong tam giác.

b) + Ta sẽ chứng minh: \(\Delta ABM = \Delta DBM\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông) \( \Rightarrow MA = MD\) (hai cạnh tương ứng)

+ Ta sẽ chứng minh: \(\Delta ANM = \Delta DCM\left( {g.c.g} \right)\)\( \Rightarrow MN = MC\) (hai cạnh tương ứng) \( \Rightarrow \Delta MNC\) cân tại \(M\).

c) Ta sẽ chứng minh: \(\left\{ \begin{array}{l}BI \bot CN\\MI \bot CN\end{array} \right. \Rightarrow B,M,I\) thẳng hàng

Giải chi tiết

a) \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), áp dụng định lý Py – ta – go, ta có:

\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\\A{C^2} = B{C^2} - A{B^2}\\A{C^2} = {5^2} - {3^2}\\A{C^2} = 16\end{array}\)

\( \Rightarrow AC = 4\,\left( {cm} \right)\)

Xét \(\Delta ABC\) có: \(AB < AC < BC\) (vì \(3cm < 4cm < 5cm\))

\( \Rightarrow \angle C < \angle B < \angle A\) (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

b) + Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta DBM\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle BAM = \angle BDM = {90^0}\\BA = BD = 3cm\\BM\,\,chung\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta ABM = \Delta DBM\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow MA = MD\) (hai cạnh tương ứng)

+ Ta có: \(\angle AMN = \angle CMD\) (hai góc đối đỉnh)

Xét \(\Delta ANM\) và \(\Delta DCM\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle AMN = \angle CMD\left( {cmt} \right)\\MA = MD\left( {cmt} \right)\\\angle NAM = \angle CMD = {90^0}\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta ANM = \Delta DCM\left( {g.c.g} \right)\)

\( \Rightarrow MN = MC\) (hai cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow \Delta MNC\) cân tại \(M\).

c) Ta có: \(\Delta ANM = \Delta DCM\left( {cmt} \right) \Rightarrow AN = DC\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(BA = BD\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow BN = BC\)

\( \Rightarrow \Delta BNC\) cân tại \(B\)

Có \(I\) là trung điểm của \(CN\left( {gt} \right)\)\( \Rightarrow BI\) là đường trung tuyến của \(\Delta BNC\)

Khi đó, \(BI\) đồng thời là đường cao của \(\Delta BNC\) hay \(BI \bot CN\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\Delta MNC\) cân tại \(M\left( {cmt} \right)\), \(I\) là trung điểm của \(CN\)

\( \Rightarrow MI\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của \(\Delta MNC\)

\( \Rightarrow MI \bot CN\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2), suy ra ba điểm \(B,M,I\) thẳng hàng.

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link