Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) thỏa mãn

Câu hỏi số 549721:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) thỏa mãn \(\int\limits_1^2 {{{\left( {x - 1} \right)}^2}f\left( x \right)dx = - \dfrac{1}{3}} \), \(f\left( 2 \right) = 0\) và \(\int\limits_1^2 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx = 7} \). Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \)

A. \(I = \dfrac{7}{5}\)

B. \(I = - \dfrac{7}{5}\)

C. \(I = - \dfrac{7}{{20}}\)

D. \(I = \dfrac{7}{{20}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:549721

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\\,dv = \left( {x - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}{3}\end{array} \right.\)

Ta có: \( - \dfrac{1}{3} = \int\limits_1^2 {{{\left( {x - 1} \right)}^2}f\left( x \right)dx} = \left. {\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}{3}f\left( x \right)} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}{3}f'\left( x \right)dx} \)

\( \Leftrightarrow - \dfrac{1}{3} = - \dfrac{1}{3}\int\limits_1^2 {{{\left( {x - 1} \right)}^3}f'\left( x \right)dx} \Leftrightarrow \int\limits_1^2 {{{\left( {x - 1} \right)}^3}f'\left( x \right)dx} = 1\)

\( \Rightarrow - \int\limits_1^2 {2.7.{{\left( {x - 1} \right)}^3}f'\left( x \right)dx} = - 14\)

Mặt khác: \(\int\limits_1^2 {49{{\left( {x - 1} \right)}^6}dx} = 7 \Rightarrow \int\limits_1^2 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} - \int\limits_1^2 {2.7.{{\left( {x - 1} \right)}^3}f'\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {49{{\left( {x - 1} \right)}^6}dx} = 0\)

\( \Rightarrow \int\limits_1^2 {{{\left[ {7{{\left( {x - 1} \right)}^3} - f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} = 0 \Rightarrow f'\left( x \right) = 7{\left( {x - 1} \right)^3} \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{7{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}{4} + C\)

Do \(f\left( 2 \right) = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{7{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}{4} - \dfrac{7}{4}\)

Vậy \(I = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^2 {\left[ {\dfrac{{7{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}{4} - \dfrac{7}{4}} \right]dx} = - \dfrac{7}{5}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.