Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\left[ {0;1} \right]\) và thỏa mãn \(f\left( 1

Câu hỏi số 549720:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\left[ {0;1} \right]\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1,\,\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} = 9\) và \(\int\limits_0^1 {{x^3}f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{2}\). Tích phân \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) là

A. \(\dfrac{2}{3}\)

B. \(\dfrac{5}{2}\)

C. \(\dfrac{7}{4}\)

D. \(\dfrac{6}{5}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:549720

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Ta có: \(\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} = 9\) (1)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = {x^3}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{{{x^4}}}{4}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{2} = \int\limits_0^1 {{x^3}f\left( x \right)dx} = \left. {\left( {\dfrac{{{x^4}}}{4}f\left( x \right)} \right)} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {{x^4}f'\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {{x^4}f'\left( x \right)dx} \)

\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {{x^4}f'\left( x \right)dx} = - 1 \Rightarrow 18\int\limits_0^1 {{x^4}f'\left( x \right)dx} = - 18\) (2)

Lại có: \(\int\limits_0^1 {{x^8}dx = \left. {\dfrac{{{x^9}}}{9}} \right|_0^1 = \dfrac{1}{9} \Rightarrow 81\int\limits_0^1 {{x^8}dx} = 9} \) (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra \(\int\limits_0^1 {\left[ {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2} + 18{x^4}.f'\left( x \right) + 81{x^8}} \right]dx} = 0\)\( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left[ {f'\left( x \right) + 9{x^4}} \right]dx} = 0\)

\( \Leftrightarrow \pi \int\limits_0^1 {\left[ {f'\left( x \right) + 9{x^4}} \right]dx} = 0\)

Suy ra \(f'\left( x \right) + 9{x^4} = 0 \Rightarrow f'\left( x \right) = - 9{x^4} \Rightarrow f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = - \dfrac{9}{5}{x^4} + C\)

Mà \(f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow C = \dfrac{{14}}{5} \Rightarrow f\left( x \right) = - \dfrac{9}{5}{x^5} + \dfrac{{14}}{5}\)

\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( { - \dfrac{9}{5}{x^5} + \dfrac{{14}}{5}} \right)dx} = \left. {\left( { - \dfrac{3}{{10}}{x^6} + \dfrac{{14}}{5}x} \right)} \right|_0^1 = \dfrac{5}{2}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.