Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( 1

Câu hỏi số 549889:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = e,\,\,f'\left( x \right) + f\left( x \right) = x,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Giá trị của \(f\left( 2 \right)\) bằng

A. \(\dfrac{2}{e}\).

B. \(1 - \dfrac{1}{e}\).

C. \(1 + \dfrac{1}{e}\).

D. \(2\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:549889

Phương pháp giải

- Nhân cả 2 vế với \({e^x}\).

- Lấy nguyên hàm hai vế, sử dụng nguyên hàm từng phần\(\int {udv} = uv - \int {vdu} \).

- Tìm hàm \(f\left( x \right)\) và tính f(2).

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) + f\left( x \right) = x,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {e^x}f'\left( x \right) + {e^x}f\left( x \right) = x.{e^x}\\ \Rightarrow \left( {{e^x}f\left( x \right)} \right)' = x.{e^x}\\ \Leftrightarrow \int {\left( {{e^x}f\left( x \right)} \right)'dx} = \int {x{e^x}dx} \\ \Leftrightarrow {e^x}f\left( x \right) = \int {xd\left( {{e^x}} \right)} \\ \Leftrightarrow {e^x}f\left( x \right) = x{e^x} - \int {{e^x}dx} \\ \Leftrightarrow {e^x}f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right){e^x} + C\end{array}\)

Mà \(f\left( 1 \right) = e\) nên \(C = {e^2}\). Do đó \(f\left( x \right) = x - 1 + {e^{2 - x}}\).

Vậy \(f\left( 2 \right) = 2\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.