Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong ở hình bên dưới. Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\)

Câu hỏi số 551710:

Vận dụng cao

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong ở hình bên dưới. Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai điểm cực trị thỏa mãn \({x_2} = {x_1} + 2\) và \(f\left( {{x_1}} \right) - 4f\left( {{x_2}} \right) = 0\). Đường thẳng song song với trục Ox và qua điểm cực tiểu cắt đồ thị hàm số tại điểm thứ hai có hoành độ \({x_0}\) và \({x_1} = {x_0} + 1\). Tính tỉ số \(\dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) (\({S_1}\) và \({S_2}\) lần lượt có diện tích hai hình phẳng được gạch ở hình bên dưới).

A. \(\dfrac{{81}}{{32}}\)

B. \(\dfrac{{27}}{{16}}\)

C. \(\dfrac{{81}}{8}\)

D. \(\dfrac{{81}}{{16}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:551710

Giải chi tiết

Sưu tầm

Vì \({x_1},\,\,{x_2}\) là 2 nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) nên \(f'\left( x \right) = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\), với \(a > 0\).

Đặt \({x_1} + {x_2} = 2s\) \( \Rightarrow {x_1} + 2 + {x_1} = 2s \Rightarrow {x_1} = s - 1\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = {x_1} - 1 = s - 2\\{x_2} = {x_1} + 2 = s + 1\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) = a\left( {x - \left( {s - 1} \right)} \right)\left( {x - \left( {s + 1} \right)} \right)\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = a\left( {{x^2} - \left( {s + 1} \right)x - \left( {s - 1} \right)x + {s^2} - 1} \right)\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = a\left( {{x^2} - 2sx + {s^2} - 1} \right)\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = a\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - s{x^2} + \left( {{s^2} - 1} \right)x} \right) + C\end{array}\)

Ta có \(f\left( {{x_1}} \right) = 4f\left( {{x_2}} \right) = 4f\left( {{x_0}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( {s + 1} \right) = f\left( {s - 2} \right)\\ \Leftrightarrow a\left[ {\dfrac{{{{\left( {s + 1} \right)}^3}}}{3} - s{{\left( {s + 1} \right)}^2} + \left( {{s^2} - 1} \right)\left( {s + 1} \right)} \right] = a\left[ {\dfrac{{{{\left( {s - 2} \right)}^3}}}{3} - s{{\left( {s - 2} \right)}^2} + \left( {{s^2} - 1} \right)\left( {s - 2} \right)} \right]\end{array}\)

Giải phương trình ta được \(s = \dfrac{5}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = - \dfrac{3}{4}\\{x_1} = \dfrac{1}{4}\\{x_2} = \dfrac{9}{4}\end{array} \right.\) và \(f\left( x \right) = a\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{5}{4}{x^2} + \dfrac{9}{{16}}x} \right) + C\).

Điều kiện: \(f\left( {{x_1}} \right) = 4f\left( {{x_2}} \right) \Leftrightarrow f\left( {\dfrac{1}{4}} \right) = 4f\left( {\dfrac{9}{4}} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{13}}{{192}}a + C = 4\left( { - \dfrac{{81}}{{64}}a + C} \right)\)

\( \Rightarrow C = \dfrac{{985a}}{{578}}\), do đó \(f\left( x \right) = a\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{5}{4}{x^2} + \dfrac{9}{{16}}x + \dfrac{{985}}{{576}}} \right)\).

Ta có: \(f\left( {\dfrac{9}{4}} \right) = \dfrac{{4a}}{9},\,\,{S_2} = \dfrac{{4a}}{9}\left( {{x_2} - {x_0}} \right) = \dfrac{{4a}}{3}\) và \({S_1} = a\int\limits_{ - \dfrac{3}{4}}^{\dfrac{9}{4}} {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{5}{4}{x^2} + \dfrac{9}{{16}}x + \dfrac{{985}}{{576}} - \dfrac{4}{9}} \right)dx} = \dfrac{{9a}}{4}\).

Vậy \(\dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \dfrac{{9a}}{4}:\dfrac{{4a}}{3} = \dfrac{{27}}{{16}}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.