Xét các số phức z thỏa mãn |z – 1 – 2i| = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(P = {\left|

Câu hỏi số 551712:

Vận dụng cao

Xét các số phức z thỏa mãn |z – 1 – 2i| = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(P = {\left| {z - 3 - 2i} \right|^2} + {\left| {z - 1 - 4i} \right|^2} - 2{\left| {z + 1 - 2i} \right|^2}\)

A. \(\sqrt {10} \)

B. 0

C. \( - 4\sqrt {10} \)

D. \( - 8\sqrt {10} \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:551712

Phương pháp giải

- Đặt \(z - 1 - 2i = x + yi \Leftrightarrow z = x + 1 + \left( {y + 2} \right)i\).

- Thay z vào biểu thức P, rút gọn.

- Sử dụng BĐT Bunhiacopxki: \({\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\), dấu “=” xảy ra khi \(\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}\).

Giải chi tiết

Đặt \(z - 1 - 2i = x + yi \Leftrightarrow z = x + 1 + \left( {y + 2} \right)i\).

Theo bài ra ta có \(\left| {x + yi} \right| = 2 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 4\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}P = {\left| {z - 3 - 2i} \right|^2} + {\left| {z - 1 - 4i} \right|^2} - 2{\left| {z + 1 - 2i} \right|^2}\\P = {\left( {x + 1 - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2 - 2} \right)^2} + {\left( {x + 1 - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2 - 4} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 2{\left( {x + 1 + 1} \right)^2} - 2{\left( {y + 2 - 2} \right)^2}\\P = {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} - 2{\left( {x + 2} \right)^2} - 2{y^2}\\P = {x^2} - 4x + 4 + {x^2} + {y^2} + {y^2} - 4y + 4 - 2{x^2} - 8x - 8 - 2{y^2}\\P = - 12x - 4y = - 4\left( {3x + y} \right)\end{array}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có \({\left( {3x + y} \right)^2} \le \left( {{3^2} + {1^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 10.4 = 40\), khi đó \(3x + y \le 2\sqrt {10} \).

\( \Rightarrow P \ge - 8\sqrt {10} \). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{1} \Leftrightarrow x = 3y\\{x^2} + {y^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{4}\\y = \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\end{array} \right.\).

Vậy \({P_{\min }} = - 8\sqrt {10} \Leftrightarrow z = \dfrac{{3\sqrt {10} + 5}}{5} + \dfrac{{\sqrt {10} + 10}}{5}i\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.