Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn đồng thời\({\log _2}\left( {\dfrac{{{x^4} + 1}}{{{y^4} + 1}}}

Câu hỏi số 551713:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn đồng thời

\({\log _2}\left( {\dfrac{{{x^4} + 1}}{{{y^4} + 1}}} \right) + 2{\log _2}\left| {\dfrac{x}{y}} \right| = \left( {{y^2} - {x^2}} \right)\left( {1 + {x^4} + {y^4}} \right) - {x^2}{y^2}\left( {{x^2} - {y^2}} \right)\)

Và \(2{\log _2}\left( {x + y + 2} \right) = 3{\log _3}\left( {x + 2y + 6} \right) - 1\)?

A. 4

B. 2

C. 1

D. 3

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:551713

Phương pháp giải

Xét hàm đặc trưng.

Giải chi tiết

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 2 > 0\\x + 2y + 6 > 0\end{array} \right.\).

Đặt \({x^2} = a > 0,\,\,{y^2} = b > 0\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {\dfrac{{{a^2} + 1}}{{{b^2} + 1}}} \right) + {\log _2}\dfrac{a}{b} = \left( {b - a} \right)\left( {1 + {a^2} + {b^2}} \right) - ab\left( {a - b} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{a^2} + 1} \right) - {\log _2}\left( {{b^2} + 1} \right) + {\log _2}a - {\log _2}b = b + {a^2}b + {b^3} - a - {a^3} - a{b^2} - {a^2}b + a{b^2}\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{a^3} + a} \right) - {\log _2}\left( {{b^3} + b} \right) = \left( {{b^3} + b} \right) - \left( {{a^3} + a} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{a^3} + a} \right) + \left( {{a^3} + a} \right) = {\log _2}\left( {{b^3} + b} \right) + \left( {{b^3} + b} \right)\end{array}\)

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), do đó \(f\left( {{a^3} + a} \right) = f\left( {{b^3} + b} \right) \Leftrightarrow {a^3} + a = {b^3} + b\).

Tiếp tục xét hàm đặc trưng \(g\left( u \right) = {u^3} + u\) ta có \(g'\left( u \right) = 3{u^2} + 1 > 0\,\,\,\forall u\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\), do đó \(g\left( a \right) = g\left( b \right) \Leftrightarrow a = b\), suy ra \({x^2} = {y^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\x = - y\end{array} \right.\).

TH1: \(x = y\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,2{\log _2}\left( {x + y + 2} \right) = 3{\log _3}\left( {x + 2y + 6} \right) - 1\\ \Leftrightarrow 2{\log _2}\left( {2x + 2} \right) = 3{\log _3}\left( {3x + 6} \right) - 1\\ \Leftrightarrow 2{\log _2}\left[ {2\left( {x + 1} \right)} \right] = 3{\log _3}\left[ {3\left( {x + 2} \right)} \right] - 1\\ \Leftrightarrow 2\left( {1 + {{\log }_2}\left( {x + 1} \right)} \right) = 3\left( {1 + {{\log }_3}\left( {x + 2} \right)} \right) - 1\\ \Leftrightarrow 2{\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3{\log _3}\left( {x + 2} \right)\end{array}\)

Đặt \(2{\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3{\log _3}\left( {x + 2} \right) = 6t\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 = {2^{3t}} = {8^t}\\x + 2 = {3^{2t}} = {9^t}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow {8^t} + 1 = {9^t} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{8}{9}} \right)^t} + {\left( {\dfrac{1}{9}} \right)^t} = 1\).

Dễ thấy hàm số \(h\left( t \right) = {\left( {\dfrac{8}{9}} \right)^t} + {\left( {\dfrac{1}{9}} \right)^t}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nên phương trình có nghiệm duy nhất \(t = 1\).

Khi đó \({\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3 \Leftrightarrow x + 1 = 8 \Leftrightarrow x = 7\). Với x = 7 thì y = 7.

TH2: \(x = - y\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,2{\log _2}2 = 3{\log _3}\left( {y + 6} \right) - 1\\ \Leftrightarrow 3{\log _3}\left( {y + 6} \right) = 3 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {y + 6} \right) = 1\\ \Leftrightarrow y + 6 = 0\,\,\left( {Loai} \right)\end{array}\)

Vậy cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right) = \left( {7;7} \right)\) là thỏa mãn và duy nhất.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.