Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có độ dài cạnh bên bằng \(2a\), đáy là tam giác \(ABC\)
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có độ dài cạnh bên bằng \(2a\), đáy là tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\); \(CA = CB = a\). Gọi M là trung điểm của cạnh AA’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và MC’.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Cách 1: Phương pháp tọa độ hóa, gắn hệ trục tọa độ và sử dụng công thức \(d\left( {AB,MC'} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {MC'} } \right].\overrightarrow {AM} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {MC'} } \right]} \right|}}\).
Cách 2: Gọi N là trung điểm của BB’, \(D = C'N \cap BC\), \(E = C'M \cap AC\).
Chứng minh \(d\left( {AB,MC'} \right) = d\left( {A,\left( {C'DE} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {C,\left( {C'DE} \right)} \right)\).
Cách 1: Phương pháp tọa độ hóa
Chọn hệ trục tọa độ Cxyz như hình vẽ. Coi a = 1.
Khi đó, ta có: A(0;1;0), B(1;0;0), C’(0;0;2), M(0;1;1).
+) \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;0} \right),\,\,\overrightarrow {MC'} = \left( {0; - 1;1} \right),\,\,\overrightarrow {AM} = \left( {0;0;1} \right)\).
+) \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {MC'} } \right] = \left( { - 1; - 1; - 1} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {MC'} } \right].\overrightarrow {AM} = - 1\).
Do đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và MC’ là: \(d\left( {AB,MC'} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {MC'} } \right].\overrightarrow {AM} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {MC'} } \right]} \right|}} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy \(d\left( {AB;MC'} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Cách 2:
Gọi N là trung điểm của BB’, \(D = C'N \cap BC\), \(E = C'M \cap AC\).
Ta có:
NB // CC’ và \(NB = \dfrac{1}{2}CC'\) nên B là trung điểm của \(CD\) hay \(CD = 2BC = 2a\).
MA // CC’ và \(MA = \dfrac{1}{2}CC'\) nên A là trung điểm của \(CE\) hay \(CE = 2CA = 2a\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB\,{\rm{//}}MN{\rm{ }}\\MN \subset \left( {C'DE} \right)\\AB \not\subset \left( {C'DE} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB\,{\rm{// }}\left( {C'DE} \right)\).
Khi đó \(d\left( {AB,MC'} \right) = d\left( {AB,\left( {C'DE} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {C'DE} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {C,\left( {C'DE} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}h\).
Vì \(CC'DE\) là tứ diện vuông tại \(C\) nên \(\dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{C{D^2}}} + \dfrac{1}{{C{E^2}}} + \dfrac{1}{{C{{C'}^2}}} = \dfrac{1}{{4{a^2}}} + \dfrac{1}{{4{a^2}}} + \dfrac{1}{{4{a^2}}} = \dfrac{3}{{4{a^2}}}\) \( \Rightarrow h = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy \(d\left( {AB,MC'} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
